Seja a distribuição das estaturas de 100 alunos de uma turma.
Estaturas (m)
№ de Alunos
1,40 |-- 1,50
5
1,50 |-- 1,60
10
1,60|-- 1,70
30
1,70 |-- 1,80
40
1,80 |-- 1,90
10
1,90 |-- 2,00
5
Total
Calcule:
a) A mediana e a moda para essa variável,
Estaturas (m) | № de Alunos |
1,40 |-- 1,50 | 5 |
1,50 |-- 1,60 | 10 |
1,60|-- 1,70 | 30 |
1,70 |-- 1,80 | 40 |
1,80 |-- 1,90 | 10 |
1,90 |-- 2,00 | 5 |
Total |
a) A mediana e a moda para essa variável,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição das estaturas de 100 alunos de uma turma. Nosso objetivo aqui é calcular a mediana e a moda dessas estaturas. Para isso, vamos usar conceitos de estatística descritiva, especificamente medidas de tendência central. Vamos precisar entender como identificar a posição central dos dados para a mediana e qual valor aparece com mais frequência para a moda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide os dados ao meio, ou seja, 50% dos alunos têm estatura abaixo e 50% acima desse valor. Para encontrar a mediana em uma distribuição de frequência, seguimos estes passos:
-
Calcular a posição da mediana:Onde $ N $ é o total de observações.
-
Identificar a classe que contém a mediana:
Verificamos em qual intervalo de estatura a posição da mediana está localizada. -
Aplicar a fórmula da mediana:Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe mediana
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe mediana
- $ f $ = frequência da classe mediana
- $ c $ = amplitude da classe
Passo 3
Vamos aplicar esses passos:
-
Calcular a posição da mediana:
-
Construir a tabela de frequências acumuladas:Observando a posição 50,5, vemos que ela está na classe 1,70 - 1,80, já que a frequência acumulada até 1,70 - 1,80 é 85, que é a primeira que ultrapassa 50,5.
-
Aplicar a fórmula da mediana:
- $ L = 1,70 $ m
- $ F = 45 $ (frequência acumulada antes da classe mediana)
- $ f = 40 $
- $ c = 0,10 $ m (amplitude da classe)
Passo 4
Agora, vamos calcular a moda. A moda é a estatura que mais se repete na distribuição. Para encontrar a moda em uma distribuição de frequência, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe modal
- $ f_1 $ = frequência da classe modal
- $ f_0 $ = frequência da classe anterior à modal
- $ f_2 $ = frequência da classe seguinte à modal
- $ c $ = amplitude da classe
Primeiro, identificamos a classe modal, ou seja, a classe com a maior frequência. Observando a tabela, vemos que a classe 1,70 - 1,80 tem a maior frequência, que é 40.
-
Identificar os valores:
- $ L = 1,70 $ m
- $ f_1 = 40 $
- $ f_0 = 30 $ (frequência da classe anterior, 1,60 - 1,70)
- $ f_2 = 10 $ (frequência da classe seguinte, 1,80 - 1,90)
- $ c = 0,10 $ m
-
Aplicar a fórmula da moda:
Resposta
A mediana das estaturas é 1,7125 metros e a moda é 1,725 metros.