Uma função quadrática f(x) tem um vértice no ponto (2,-1) e passa pelo ponto (0,3). Encontre a equação da função f(x) na forma, f(x)=a(x-h)^2+k.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos dá e o que precisamos encontrar. Temos uma função quadrática, que é uma parábola, e sabemos que seu vértice está no ponto (2,-1). Além disso, a parábola passa pelo ponto (0,3). Queremos descobrir a equação dessa função na forma f(x) = a(x-h)^2 + k, onde (h,k) é o vértice da parábola.

Passo 2

Na fórmula f(x) = a(x-h)^2 + k, (h,k) é o vértice. Como o vértice é (2,-1), substituímos h por 2 e k por -1:
f(x) = a(x-2)^2 - 1
Agora, nossa função está quase completa, mas ainda precisamos encontrar o valor de a.

Passo 3

Para descobrir o valor de a, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto (0,3). Isso significa que quando x = 0, f(x) = 3. Vamos substituir esses valores na equação que já temos:
3 = a(0-2)^2 - 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a:
3 = a(4) - 1 3 + 1 = 4a 4 = 4a a = 1

Resposta

Com a = 1, substituímos de volta na equação:
f(x) = 1(x-2)^2 - 1 f(x) = (x-2)^2 - 1
Então, a equação da função quadrática é f(x) = (x-2)^2 - 1.

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