Uma empresa fabrica um dispositivo eletrônico para ser usado em uma faixa de temperatura muito ampla. A empresa sabe que o aumento da temperatura reduz a vida útil do dispositivo. Foi realiza um estudo no qual a vida útil é determinada em função da temperatura. Os seguintes dados foram encontrados:
Temperatura em Celsius (t) 1020304050607080
Vida útil em horas (y) 4203652852201761409678
No modelo de regressão linear \hat{y}=\mathbf{a}+\mathbf{b t}, para \mathbf{t}=40, qual a diferença entre o valor observado e o valor esperado da vida útil?

Passo 1

O enunciado fornece a vida útil y de um dispositivo em função da temperatura t, com dados
t=(10,20,30,40,50,60,70,80) e
y=(420,365,285,220,176,140,96,78).
Queremos ajustar o modelo de regressão linear simples
\hat{y} = a + b\,t
pelo método dos mínimos quadrados e, para t=40, calcular
\text{diferença} = y_{\text{obs}} - \hat{y}ç.

Passo 2

As fórmulas dos coeficientes pelo método dos mínimos quadrados são
b = \frac{n\sum t_{i}y_{i} \;-\;\bigl(\sum t_{i}\bigr)\bigl(\sum y_{i}\bigr)}{n\sum t_{i}^{2} \;-\;\bigl(\sum t_{i}\bigr)^{2}}
e
a = \frac{\sum y_{i} - b\,\sum t_{i}}{n}
onde n=8.

Passo 3

Calculamos os somatórios:
\sum t_{i} = 360,\quad \sum y_{i} = 1780,\quad \sum t_{i}^{2} = 20400,\quad \sum t_{i}y_{i} = 59010.

Passo 4

Substituindo em b:
b = \frac{8\cdot59010 - 360\cdot1780}{8\cdot20400 - 360^{2}} = \frac{472080 - 640800}{163200 - 129600} = \frac{-168720}{33600} \approx -5{,}0214.

Passo 5

Em seguida,
a = \frac{1780 - (-5{,}0214)\cdot360}{8} = \frac{1780 + 1807{,}714}{8} \approx 448{,}4643.

Passo 6

Para t=40,
\hat{y}(40) = a + b\cdot40 \approx 448{,}4643 -5{,}0214\cdot40 \approx 247{,}6071.
O valor observado é y_{\text{obs}}=220, logo
\text{diferença} = 220 - 247{,}6071 \approx -27{,}61\text{ horas}.ç

Resposta

A diferença entre o valor observado e o valor esperado em t=40 é aproximadamente -27,61 horas.

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