Uma empresa fabrica um dispositivo eletrônico para ser usado em uma faixa de temperatura muito ampla. A empresa sabe que o aumento da temperatura reduz a vida útil do dispositivo. Foi realiza um estudo no qual a vida útil é determinada em função da temperatura. Os seguintes dados foram encontrados:
Temperatura em Celsius (t) 10 20 30 40 50 60 70 80
Vida útil em horas (y) 420 365 285 220 176 140 96 78
De acordo com o valor-p do teste de hipóteses Ho: \beta^{*}=-6; H1: \beta^{*} \neq-6, do modelo de regressão linear y=\alpha^{*}+\beta^{*} t ?
a) a hipótese H0 é aceita para alfa de 1% e rejeitada para alfa de 5%
b) a hipótese H0 é rejeitada para alfa de 5 e 1%
c) a hipótese H0 é aceita para alfa de 5 e 1%
d) a hipótese H0 é rejeitada para alfa de 1% e aceita para alfa de 5%

Passo 1

O enunciado nos dá oito pares (t_i,y_i), onde t_i é a temperatura e y_i a vida útil, e pede o teste de hipótese
H_0:\beta^*=-6 \quad\text{vs.}\quad H_1:\beta^*\neq -6
no modelo de regressão simples
y = \alpha^* + \beta^* t.
Vamos ajustar a reta por mínimos quadrados, calcular o erro padrão do coeficiente angular e, a seguir, o valor- t e o p-valor para decidir em níveis de significância de 5\% e 1\%.

Passo 2

Calcular médias e somatórios:
\bar t = \frac{10+20+\cdots+80}{8}=45, \quad \bar y = \frac{420+365+\cdots+78}{8}=222{,}5.
S_{xx}=\sum_{i=1}^{8}(t_i-\bar t)^2=4200, \quad S_{xy}=\sum_{i=1}^{8}(t_i-\bar t)(y_i-\bar y)=-21090.
Logo a inclinação estimada é
\hat\beta = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = -\frac{21090}{4200}\approx -5{,}0214.
E a ordenada na origem fica
\hat\alpha = \bar y - \hat\beta\,\bar t \approx 222{,}5 -(-5{,}0214)\times45 \approx 448{,}46.

Passo 3

Calcular o resíduo total:
S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2\approx109076, \quad \text{SSE}=S_{yy}-\hat\beta\,S_{xy} \approx109076 - (-5{,}0214)(-21090)\approx3174{,}04.
O estimador do erro quadrático médio é
s^2 = \frac{\text{SSE}}{n-2} = \frac{3174{,}04}{6}\approx529{,}01.
E o erro padrão de \hat\beta é
\mathrm{se}(\hat\beta)=\sqrt{\frac{s^2}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{529{,}01}{4200}}\approx0{,}3552.

Passo 4

O valor- t para testar H_0:\beta=-6 é
t = \frac{\hat\beta -(-6)}{\mathrm{se}(\hat\beta)} =\frac{-5{,}0214 +6}{0{,}3552}\approx2{,}754.
Com 6 graus de liberdade, esse t gera um p-valor bilateral p\approx0{,}033.

Passo 5

Comparando com os níveis de significância:
  • Para \alpha=5\%, p\approx0{,}033<0{,}05, rejeitamos H_0.
  • Para \alpha=1\%, p\approx0{,}033>0{,}01, não rejeitamos H_0.

Resposta

a) a hipótese H_0 é aceita para \alpha=1\% e rejeitada para \alpha=5\%.

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