Uma empresa fabrica um dispositivo eletrônico para ser usado em uma faixa de temperatura muito ampla. A empresa sabe que o aumento da temperatura reduz a vida útil do dispositivo. Foi realiza um estudo no qual a vida útil é determinada em função da temperatura. Os seguintes dados foram encontrados:
Temperatura em Celsius (t) 1020304050607080
Vida útil em horas (y) 4203652852201761409678
No modelo de regressão linear \hat{y}=\mathbf{a}+\mathbf{b t}, qual é o valor esperado da vida útil em horas, caso o dispositivo eletrônica seja utilizado em uma temperatura de 40 Celsius?

Passo 1

O enunciado dá oito pares de valores de temperatura t (em \circC) e vida útil y (em horas) e pede a previsão da vida útil num modelo de regressão linear
\hat{y} = a + b\,t
para t=40. Vamos usar o método dos mínimos quadrados, que exige calcular as médias \bar t e \bar y e em seguida os coeficientes
b = \frac{\sum (t_i - \bar t)(y_i - \bar y)}{\sum (t_i - \bar t)^2}, \quad a = \bar y - b\,\bar t.

Passo 2

Calcular as médias das variáveis:
\bar t = \frac{10+20+30+40+50+60+70+80}{8} = 45,
\bar y = \frac{420+365+285+220+176+140+96+78}{8} = 222{,}5.

Passo 3

Calcular os somatórios necessários para b:
\sum (t_i - \bar t)^2 = 35^2+25^2+15^2+5^2+5^2+15^2+25^2+35^2 = 4200,
\sum (t_i - \bar t)(y_i - \bar y) = -21090.
Logo
b = \frac{-21090}{4200} \approx -5{,}0214,
a = \bar y - b\,\bar t = 222{,}5 - (-5{,}0214)\times45 \approx 448{,}464.

Passo 4

Fazer a previsão para t=40:
\hat y(40) = a + b\cdot 40 \approx 448{,}464 + (-5{,}0214)\times 40 \approx 247{,}607.

Resposta

A vida útil esperada é aproximadamente 247{,}6 horas.

Exercícios relacionados