Uma empresa fabrica um dispositivo eletrônico para ser usado em uma faixa de temperatura muito ampla. A empresa sabe que o aumento da temperatura reduz a vida útil do dispositivo. Foi realiza um estudo no qual a vida útil é determinada em função da temperatura. Os seguintes dados foram encontrados:
Temperatura em Celsius (t) 10 20 30 40 50 60 70 80
Vida útil em horas (y) 420 365 285 220 176 140 96 78
De acordo com o valor-p do teste de hipóteses Ho: \beta^{*}=-6 ; \mathrm{H} 1: \beta^{*} \neq-6, do modelo de regressão linear y=\alpha^{*}+\beta^{*} t ?
a) a hipótese H0 é aceita para alfa de 5 e 1%
b) a hipótese H0 é aceita para alfa de 1% e rejeitada para alfa de 5%
c) a hipótese H0 é rejeitada para alfa de 5 e 1%
d) a hipótese H0 é rejeitada para alfa de 1% e aceita para alfa de 5%
Nenhuma resposta certa

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para o coeficiente angular \beta no modelo de regressão linear
y = \alpha + \beta\,t
com
H_0:\beta = -6 \quad\text{e}\quad H_1:\beta \neq -6.
Vamos calcular o estimador \hat\beta, seu erro‐padrão, o valor‐t e o p‐valor, e então comparar com os níveis de significância \alpha=5\% e \alpha=1\%.

Passo 2

Calcular médias e somatórios úteis:
n=8,\quad \bar t = \frac{\sum t_i}{n} = \frac{360}{8}=45, \quad \bar y = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{1780}{8}=222{,}5.
S_{xx}=\sum(t_i-\bar t)^2 =20400 - 8\cdot45^2 = 4200,
S_{xy}=\sum(t_i-\bar t)(y_i-\bar y) =59010 - 8\cdot45\cdot222{,}5 = -21090.
Logo o estimador de inclinação é
\hat\beta = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-21090}{4200}\approx -5{,}0214.

Passo 3

Calcular a variância residual e o erro‐padrão de \hat\beta:
S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2 =505126 - 8\cdot222{,}5^2 =109076,
\text{SSE} = S_{yy} - \hat\beta\,S_{xy} =109076 - (-5{,}0214)\times(-21090)\approx3174{,}07,
s^2 = \frac{\text{SSE}}{n-2} = \frac{3174{,}07}{6}\approx529{,}01, \quad s\approx23{,}0.
\mathrm{SE}(\hat\beta)=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} =\frac{23{,}0}{\sqrt{4200}}\approx0{,}3549.

Passo 4

Calcular a estatística de teste
t = \frac{\hat\beta - (-6)}{\mathrm{SE}(\hat\beta)} = \frac{-5{,}0214 + 6}{0{,}3549} \approx 2{,}757
com 6 graus de liberdade. Para teste bilateral, o p‐valor satisfaz
0{,}01 < p < 0{,}05
pois t_{0{,}975,6}=2{,}447 e t_{0{,}995,6}=3{,}707.

Passo 5

Comparando o p‐valor com os níveis \alpha:
  • Para \alpha=5\%, p<0{,}05 leva à rejeição de H_0.
  • Para \alpha=1\%, p>0{,}01 leva a não rejeitar H_0.

Resposta

(b)

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