Uma empresa fabricante de pastilhas para freio efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Sabe-se que 1 % das pastilhas fabricadas apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste.
Qual a probabilidade de que em uma amostra aleatória simples de 1000 pastilhas a proporção de pastilhas defeituosas seja superior a 0,009 ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma fábrica de pastilhas tem 1% delas com defeito. A gente vai pegar uma amostra aleatória de 1000 pastilhas e quer saber a probabilidade de a proporção de defeituosas nessa amostra ser maior que 0,009.
Conteúdo: distribuição amostral de proporção e Teorema Central do Limite.
O que vamos usar:
  • A proporção verdadeira p=0,01
  • Tamanho da amostra n=1000
  • Aproximação pela Normal (CLT) para a proporção amostral hat p

Passo 2

Primeiro, vamos achar a média e o desvio padrão da distribuição de hat p.
Teoria: para amostras grandes, hat p é aproximadamente normal com
muhat p=p
sigmahat p=raizp(1-p)n
Aqui:
muhat p=0,01
sigmahat p=raiz0,01cdot 0,991000=raiz0,0000099approx0,003146

Passo 3

Agora padronizamos a variável para usar a tabela da Normal padrão. Queremos

Calculando o Pl(hat p>0,009r)=Pl(Z>0,009-muhat psigmahat pr):
Z

Passo 4

Na Normal padrão, P(Z> -0,318)=1-P(Z<= -0,318). Mas como P(Z<= -a)=1-P(Z<= a), dá
P(Z>-0,318)=P(Z<= 0,318)approx0,625
(pegando na tabela da Normal ou calculadora.)

Resposta

A probabilidade de a proporção de defeitos ser maior que 0,009 é aproximadamente 0,625 (62,5%).

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