Uma empresa fabricante de pastilhas para freio efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Sabe-se que 1 % das pastilhas fabricadas apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste.
Qual a probabilidade de que sejam encontradas 8 ou menos pastilhas com problemas na amostra de tamanho 1000 ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o problema e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: uma fábrica sabe que 1 % das pastilhas são defeituosas. Se a gente pega uma amostra de 1000 pastilhas, qual a probabilidade de encontrar até 8 defeituosas?
Conteúdo: Probabilidade discreta (Binomial) e aproximação de Poisson.
O que vamos precisar:
  1. Entender a distribuição Binomial.
  2. Ver que, como é grande e pequeno, dá pra usar Poisson com .
  3. Calcular a soma das probabilidades de até defeituosas nessa Poisson.

Passo 2

Primeiro, o que é uma distribuição Binomial?
Quando você tem P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k tentativas (aqui, 1000 pastilhas), cada uma com chance de “sucesso” (aqui, pastilha ruim inteiro, ), a probabilidade de ver exatamente sucessos é
Mas calcular pra cada e somar até 8 é muito trabalhão.

Passo 3

A boa notícia: quando lambda = n p = 1000 times 0,01 = 10 é grande e P(X=k) = e^-lambda,lambda^kk! é pequeno (tipo e ), a Binomial se aproxima bem de uma Poisson com
Na Poisson, a probabilidade de exatamente defeituosas é

Passo 4

Como a pergunta é “8 ou menos” defeituosas, a gente vai calcular
P(X <= 8) ;=; sumk=0^8 e^-10,10^kk!
Ou seja, soma de cada termo .

Passo 5

Vamos aproximar cada termo rapidinho (valores arredondados):

Passo 6

Agora é só somar esses números:
P(X<=8);approx;0,0000454 + 0,000454 + 0,00227 + 0,00757 + 0,0189 + 0,0378 + 0,0631 + 0,0901 + 0,113 ;approx;0,333

Resposta

A probabilidade de encontrar até 8 pastilhas com problema numa amostra de 1000 é, aproximando pela distribuição de Poisson, cerca de 0,33 (ou 33 %).

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