O tempo de espera na pista para a decolagem de cada avião no aeroporto de São Paulo é uma v.a. com valor médio 4 minutos e desvio padrão 2,5 minutos. Suponha que se seleciona ao acaso 50 aviões, para se registarem os seus correspondentes tempos de espera. Calcule a probabilidade da média dos tempos de espera exceder os 5 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um aeroporto onde, em média, cada avião espera 4 minutos na pista para decolar, com um desvio padrão de 2,5 minutos. A gente vai pegar uma amostra de 50 aviões e quer saber qual é a chance da média desses tempos de espera ser maior que 5 minutos. Vamos precisar usar a Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos: a média populacional (
) é 4 minutos e o desvio padrão populacional (
) é 2,5 minutos. A gente vai tirar uma amostra com tamanho
.
Passo 3
Segundo, pelo Teorema Central do Limite, quando o tamanho da amostra é grande (como 50), a distribuição da média amostral (
) tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. A média da distribuição amostral é igual à média populacional (
) e o desvio padrão da distribuição amostral, chamado de erro padrão (
), é dado por:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade da média amostral (
) ser maior que 5 minutos, ou seja,
. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o z-score, que é:
Passo 5
Com o z-score calculado, vamos consultar a tabela da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a
. A probabilidade de um z ser menor que 2,823 é aproximadamente 0,9976.
Passo 6
Mas a gente quer a probabilidade de ser maior que 5 minutos, então subtraímos esse valor de 1:
Resposta
A probabilidade da média dos tempos de espera exceder 5 minutos é de aproximadamente 0,24%.