O tempo de espera na pista para a decolagem de cada avião no aeroporto de São Paulo é uma v.a. com valor médio 4 minutos e desvio padrão 2,5 minutos. Suponha que se seleciona ao acaso 50 aviões, para se registarem os seus correspondentes tempos de espera. Calcule a probabilidade da média dos tempos de espera exceder os 5 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um aeroporto onde, em média, cada avião espera 4 minutos na pista para decolar, com um desvio padrão de 2,5 minutos. A gente vai pegar uma amostra de 50 aviões e quer saber qual é a chance da média desses tempos de espera ser maior que 5 minutos. Vamos precisar usar a Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos: a média populacional ( mu) é 4 minutos e o desvio padrão populacional ( sigma) é 2,5 minutos. A gente vai tirar uma amostra com tamanho n = 50.

Passo 3

Segundo, pelo Teorema Central do Limite, quando o tamanho da amostra é grande (como 50), a distribuição da média amostral ( barX) tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja. A média da distribuição amostral é igual à média populacional ( mubarX = mu) e o desvio padrão da distribuição amostral, chamado de erro padrão ( SE), é dado por:
SE = sigmaraizn = 2,5raiz50 approx 0,354

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade da média amostral ( barX) ser maior que 5 minutos, ou seja, P(barX > 5). Para isso, vamos padronizar esse valor usando o z-score, que é:
z = barX - mubarXSE = 5 - 40,354 approx 2,823

Passo 5

Com o z-score calculado, vamos consultar a tabela da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a z = 2,823. A probabilidade de um z ser menor que 2,823 é aproximadamente 0,9976.

Passo 6

Mas a gente quer a probabilidade de ser maior que 5 minutos, então subtraímos esse valor de 1:
P(barX > 5) = 1 - 0,9976 = 0,0024

Resposta

A probabilidade da média dos tempos de espera exceder 5 minutos é de aproximadamente 0,24%.

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