Suponha uma população Normal com parâmetros desconhecidos. Selecionou-se ao acaso uma amostra de dimensão 20 da qual resultou uma variância igual a 5 . Calcule a probabilidade da média amostral ser inferior à média populacional em mais de 1,43 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população que segue uma distribuição Normal, mas a gente não sabe a média ( mu) e a variância ( sigma^2). Tiramos uma amostra de tamanho 20 dessa população e descobrimos que a variância amostral é 5. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que a média dessa amostra ( barX) seja mais de 1,43 unidades menor que a média da população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, como a população é Normal, a média da amostra barX também segue uma distribuição Normal. A média dessa distribuição será mu e o desvio padrão será sigma/raizn, onde n é o tamanho da amostra. Mas como não sabemos sigma, vamos usar a variância amostral s^2 = 5 para estimar isso.

Passo 3

O desvio padrão da amostra é s = raiz5 approx 2,236. Então, o erro padrão da média é s/raizn = 2,236/raiz20 approx 0,5.

Passo 4

Agora, queremos encontrar P(barX <= mu - 1,43). Vamos padronizar isso para usar a distribuição t de Student, já que estamos usando a variância amostral:
P(barX - mus/raizn <= -1,430,5) = P(T <= -2,86)

Passo 5

Com n - 1 = 19 graus de liberdade, vamos consultar a tabela da distribuição t para encontrar a probabilidade de T <= -2,86. Geralmente, valores negativos têm a mesma probabilidade que seus equivalentes positivos na distribuição t.

Passo 6

Ao consultar a tabela t para 19 graus de liberdade, encontramos que P(T <= -2,86) é aproximadamente 0,0025.

Resposta

A probabilidade da média amostral ser inferior à média populacional em mais de 1,43 unidades é de aproximadamente 0,25%.

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