Suponha uma população Normal com parâmetros desconhecidos. Selecionou-se ao acaso uma amostra de dimensão 20 da qual resultou uma variância igual a 5 . Calcule a probabilidade da média amostral ser inferior à média populacional em mais de 1,43 unidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população que segue uma distribuição Normal, mas a gente não sabe a média (
) e a variância (
). Tiramos uma amostra de tamanho 20 dessa população e descobrimos que a variância amostral é 5. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que a média dessa amostra (
) seja mais de 1,43 unidades menor que a média da população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, como a população é Normal, a média da amostra
também segue uma distribuição Normal. A média dessa distribuição será
e o desvio padrão será
, onde
é o tamanho da amostra. Mas como não sabemos
, vamos usar a variância amostral
para estimar isso.
Passo 3
O desvio padrão da amostra é
. Então, o erro padrão da média é
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Vamos padronizar isso para usar a distribuição
de Student, já que estamos usando a variância amostral:
Passo 5
Com
graus de liberdade, vamos consultar a tabela da distribuição
para encontrar a probabilidade de
. Geralmente, valores negativos têm a mesma probabilidade que seus equivalentes positivos na distribuição
.
Passo 6
Ao consultar a tabela
para 19 graus de liberdade, encontramos que
é aproximadamente 0,0025.
Resposta
A probabilidade da média amostral ser inferior à média populacional em mais de 1,43 unidades é de aproximadamente 0,25%.