A média de uma distribuição amostral das médias é 50,0 e seu desvio padrão é 10,0 . Suponha normal a distribuição amostral das médias e considere n=13. Que percentagem das médias amostrais estará entre 45,0 e 55,0 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição amostral das médias com uma média de 50,0 e um desvio padrão de 10,0. A distribuição é normal e o tamanho da amostra é n = 13. Queremos descobrir qual porcentagem das médias amostrais está entre 45,0 e 55,0.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Distribuição Normal: Uma distribuição simétrica em forma de sino.
  • Desvio Padrão da Distribuição Amostral das Médias: Também conhecido como erro padrão, é calculado como o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
  • Z-Score: Mede quantos desvios padrão um valor está afastado da média.
  • Tabela da Distribuição Normal Padrão: Usada para encontrar a probabilidade correspondente a um determinado Z-Score.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar o erro padrão da distribuição amostral das médias. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
EP = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
No nosso caso, o desvio padrão da distribuição amostral das médias já foi fornecido como 10,0, então não precisamos calcular sigma diretamente.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a porcentagem das médias amostrais que estão entre 45,0 e 55,0. Para isso, vamos calcular os Z-Scores para esses valores utilizando a fórmula:
Z = X - muEP
Onde:
  • X é o valor que estamos avaliando (45,0 e 55,0).
  • mu é a média da distribuição amostral das médias (50,0).
  • EP é o erro padrão (10,0).

Passo 4

Calculando o Z-Score para 45,0:
Z1 = 45,0 - 50,010,0 = -5,010,0 = -0,5
Calculando o Z-Score para 55,0:
Z2 = 55,0 - 50,010,0 = 5,010,0 = 0,5

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondentes a esses Z-Scores usando a Tabela da Distribuição Normal Padrão. A tabela fornece a área sob a curva normal à esquerda de um determinado Z-Score.
Para Z = -0,5 e Z = 0,5, as probabilidades são aproximadamente:
P(Z < -0,5) approx 0,3085
P(Z < 0,5) approx 0,6915

Passo 6

Para encontrar a probabilidade de que uma média amostral esteja entre 45,0 e 55,0, subtraímos a probabilidade de Z < -0,5 da probabilidade de Z < 0,5:
P(45,0 < barX < 55,0) = P(Z < 0,5) - P(Z < -0,5) = 0,6915 - 0,3085 = 0,3830

Resposta

38,3% das médias amostrais estarão entre 45,0 e 55,0.

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