A média de uma distribuição amostral das médias é 50,0 e seu desvio padrão é 10,0 . Suponha normal a distribuição amostral das médias e considere
. Que percentagem das médias amostrais estará entre 45,0 e 55,0 ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição amostral das médias com uma média de 50,0 e um desvio padrão de 10,0. A distribuição é normal e o tamanho da amostra é n = 13. Queremos descobrir qual porcentagem das médias amostrais está entre 45,0 e 55,0.
Para resolver isso, vamos precisar dos seguintes conceitos:
- Distribuição Normal: Uma distribuição simétrica em forma de sino.
- Desvio Padrão da Distribuição Amostral das Médias: Também conhecido como erro padrão, é calculado como o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
- Z-Score: Mede quantos desvios padrão um valor está afastado da média.
- Tabela da Distribuição Normal Padrão: Usada para encontrar a probabilidade correspondente a um determinado Z-Score.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar o erro padrão da distribuição amostral das médias. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
No nosso caso, o desvio padrão da distribuição amostral das médias já foi fornecido como 10,0, então não precisamos calcular
diretamente.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a porcentagem das médias amostrais que estão entre 45,0 e 55,0. Para isso, vamos calcular os Z-Scores para esses valores utilizando a fórmula:
Onde:
-
é o valor que estamos avaliando (45,0 e 55,0). -
é a média da distribuição amostral das médias (50,0). -
é o erro padrão (10,0).
Passo 4
Calculando o Z-Score para 45,0:
Calculando o Z-Score para 55,0:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondentes a esses Z-Scores usando a Tabela da Distribuição Normal Padrão. A tabela fornece a área sob a curva normal à esquerda de um determinado Z-Score.
Para
e
, as probabilidades são aproximadamente:
Passo 6
Para encontrar a probabilidade de que uma média amostral esteja entre 45,0 e 55,0, subtraímos a probabilidade de
da probabilidade de
:
Resposta
38,3% das médias amostrais estarão entre 45,0 e 55,0.