As erupções solares são explosões violentas que ocorrem na superfície do Sol, liberando grandes quantidades de energia e radiação eletromagnética. Esses eventos podem causar sérios impactos em tecnologias modernas, como satélites, sistemas de navegação e redes de comunicação terrestre. Quando intensas, as erupções solares também podem afetar redes elétricas e representar riscos para astronautas em missões espaciais.
Durante o mês de janeiro de 2023, o Sol estava próximo do ponto máximo de seu ciclo de atividade solar, que ocorre aproximadamente a cada 11 anos. Com o objetivo de antecipar possíveis interrupções tecnológicas e desenvolver estratégias de mitigação, cientistas do Observatório Espacial de Atacama realizaram um estudo de longo prazo para monitorar a frequência dessas erupções.
Ao longo da pesquisa, foram selecionados aleatoriamente 350 dias para observação. Em 86 desses dias, foi registrada pelo menos uma erupção solar.
Calcule um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de dias em que ocorre pelo menos uma erupção solar.
Durante o mês de janeiro de 2023, o Sol estava próximo do ponto máximo de seu ciclo de atividade solar, que ocorre aproximadamente a cada 11 anos. Com o objetivo de antecipar possíveis interrupções tecnológicas e desenvolver estratégias de mitigação, cientistas do Observatório Espacial de Atacama realizaram um estudo de longo prazo para monitorar a frequência dessas erupções.
Ao longo da pesquisa, foram selecionados aleatoriamente 350 dias para observação. Em 86 desses dias, foi registrada pelo menos uma erupção solar.
Calcule um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede um intervalo de confiança:
- Número de dias observados:
. - Número de dias com pelo menos uma erupção:
. - Nível de confiança desejado:
.
O que se pede: calcular um intervalo de confiança depara a proporção verdadeira de dias em que ocorre pelo menos uma erupção solar.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o intervalo de confiança baseado na aproximação normal para proporções (fórmula clássico usando
). Isso é o procedimento padrão quando temos uma amostra aleatória grande de contagens de “sucessos” (aqui, dias com erupção). Vou justificar essa escolha verificando as condições de aplicabilidade (no próximo passo). Se essas condições não fossem atendidas, teríamos que usar outro método (por exemplo intervalo exato de Clopper–Pearson), mas aqui os números são grandes o suficiente.
Passo 3
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
Quando observamos sucessos em
observações, a estimativa pontual da proporção é a proporção amostral
Quando observamos
A distribuição amostral de
é aproximadamente normal com média
(a proporção verdadeira) e variância
. Como
é desconhecido, usamos
no lugar. O intervalo de confiança de nível
fica
onde:
-
é a proporção observada (definida acima), -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que (por exemplo, para de confiança temos e é o quantil correspondente), -
é o erro padrão (EP) de .
Explicando cada símbolo de forma bem prática:
-
: tamanho da amostra (quantas observações/dias). -
: número de sucessos (dias com erupção). -
: proporção amostral, nossa melhor estimativa pontual de . -
: “quantidade de desvios padrão” que corresponde ao nível de confiança (vem da tabela z). - O produto
EP dá a margem de erro do intervalo.
Passo 4
Verificação das condições de aplicabilidade da aproximação normal:
Devemos checar se e
são suficientemente grandes (regra prática: ambos maiores que
ou, mais conservadoramente,
). Calculamos:
Devemos checar se
Ambos são muito maiores que
, então a aproximação normal é adequada.
Passo 5
Cálculo da proporção amostral
:
Para contas manuais vamos usar
. (Isto significa que, na amostra, cerca de
dos dias tiveram pelo menos uma erupção.)
Passo 6
Cálculo do erro padrão (EP) de
:
Primeiro calcule . Podemos escrever exatamente como fração para conferir:
Primeiro calcule
Agora o erro padrão é
Portanto
.
Passo 7
Valor crítico
para
de confiança:
O nível de confiança corresponde a
e
. O quantil da normal padrão que deixa
na cauda superior é aproximadamente
O nível de confiança
(Esse valor vem da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística.)
Passo 8
Cálculo da margem de erro:
Passo 9
Cálculo do intervalo de confiança:
Limite inferior:
Limite inferior:
Limite superior:
Arredondando com cuidado (por exemplo, 3 casas decimais), obtemos o intervalo aproximado
Passo 10
Interpretação final (do jeito amigo e encorajador):
Com de confiança podemos dizer que a verdadeira proporção de dias com pelo menos uma erupção solar está entre cerca de
e
. Ou seja, embora a melhor estimativa pontual seja aproximadamente
, existe incerteza amostral e o intervalo captura essa incerteza — e, olhando pelo lado bom, mesmo no pior caso (limite superior) não chega a mais de um terço dos dias, mas no melhor caso (limite inferior) ainda é quase uma em cada cinco dias. Força aí — essa é a resposta que você pode colocar na prova!
Com