Uma moeda perfeita é lançada quatro vezes. Seja
o número de caras obtidas. Calcule o valor médio
e a variância
.
Passo 1
O enunciado fornece uma moeda perfeita (justa) lançada quatro vezes e define
como o número de caras (heads) obtidas nos quatro lançamentos. As perguntas são:
- Calcular o valor médio
. - Calcular a variância
.
Informações relevantes dadas:
- São realizados
lançamentos independentes. - A moeda é perfeita, logo a probabilidade de cara em cada lançamento é
. - A variável
conta o número de sucessos (caras) em tentativas.
Passo 2
Modelagem conveniente: representar
-ésimo lançamento sair cara},\[4pt] 0, & se no
-ésimo lançamento sair coroa. \end{cases}]
Então
é a soma das quatro indicadoras:
Essa representação é útil porque cada
é uma variável de Bernoulli com parâmetro
.]
Passo 3
Lembrete (fórmulas e interpretações básicas que vamos usar):
- Para uma variável de Bernoulli
com parâmetro (ou seja, e ),
- A esperança é linear: para quaisquer variáveis
,
- Se as variáveis
são independentes, então variâncias somam:
porque as covariâncias são zero.
Passo 4
Aplicar as fórmulas aos nossos
. Como a moeda é perfeita temos, para cada
,
Além disso, os lançamentos são independentes, então as quatro
são independentes.
Passo 5
Calcular a esperança de
usando linearidade:
Substituindo
,
Interpretação intuitiva: em média, em quatro lançamentos de uma moeda justa espera-se obter
caras.
Passo 6
Calcular a variância de
usando independência e soma das variâncias:
Substituindo
,
Passo 7
Comentário extra (verificação alternativa, útil para prova):
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja
. Para uma
vale
Substituindo
e
obtém-se exatamente os mesmos resultados:
e
.