Uma moeda perfeita é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule o valor médio E(Y) e a variância \operatorname{Var}(Y).

Passo 1

O enunciado fornece uma moeda perfeita (justa) lançada quatro vezes e define Y como o número de caras (heads) obtidas nos quatro lançamentos. As perguntas são:
  • Calcular o valor médio E(Y).
  • Calcular a variância \operatorname{Var}(Y).
Informações relevantes dadas:
  • São realizados 4 lançamentos independentes.
  • A moeda é perfeita, logo a probabilidade de cara em cada lançamento é p=\tfrac{1}{2}.
  • A variável Y conta o número de sucessos (caras) em 4 tentativas.

Passo 2

Modelagem conveniente: representar Y\) como soma de variáveis indicadoras. Para \(i=1,2,3,4\), defina a variável indicadora \[X_i=\begin{cases} 1, & \text{se no \(i-ésimo lançamento sair cara},\[4pt] 0, & se no i-ésimo lançamento sair coroa. \end{cases}]
Então Y é a soma das quatro indicadoras:
Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.
Essa representação é útil porque cada X_i é uma variável de Bernoulli com parâmetro p=\tfrac{1}{2}.]

Passo 3

Lembrete (fórmulas e interpretações básicas que vamos usar):
  • Para uma variável de Bernoulli X com parâmetro p (ou seja, P(X=1)=p e P(X=0)=1-p),
E(X)=p \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Var}(X)=p(1-p).
  • A esperança é linear: para quaisquer variáveis X_i,
E\!\left(\sum_i X_i\right)=\sum_i E(X_i).
  • Se as variáveis X_i são independentes, então variâncias somam:
\operatorname{Var}\!\left(\sum_i X_i\right)=\sum_i \operatorname{Var}(X_i),
porque as covariâncias são zero.

Passo 4

Aplicar as fórmulas aos nossos X_i. Como a moeda é perfeita temos, para cada i,
E(X_i)=p=\tfrac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Var}(X_i)=p(1-p)=\tfrac{1}{2}\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{4}.
Além disso, os lançamentos são independentes, então as quatro X_i são independentes.

Passo 5

Calcular a esperança de Y usando linearidade:
E(Y)=E(X_1+X_2+X_3+X_4)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4).
Substituindo E(X_i)=\tfrac{1}{2},
E(Y)=4\cdot \tfrac{1}{2}=2.
Interpretação intuitiva: em média, em quatro lançamentos de uma moeda justa espera-se obter 2 caras.

Passo 6

Calcular a variância de Y usando independência e soma das variâncias:
\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(X_1+X_2+X_3+X_4)=\operatorname{Var}(X_1)+\operatorname{Var}(X_2)+\operatorname{Var}(X_3)+\operatorname{Var}(X_4).
Substituindo \operatorname{Var}(X_i)=\tfrac{1}{4},
\operatorname{Var}(Y)=4\cdot \tfrac{1}{4}=1.

Passo 7

Comentário extra (verificação alternativa, útil para prova): Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=\tfrac{1}{2}, ou seja Y\sim\mathrm{Bin}(4,\tfrac{1}{2}). Para uma \mathrm{Bin}(n,p) vale
E(Y)=np,\qquad \operatorname{Var}(Y)=np(1-p).
Substituindo n=4 e p=\tfrac{1}{2} obtém-se exatamente os mesmos resultados: E(Y)=4\cdot\tfrac{1}{2}=2 e \operatorname{Var}(Y)=4\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=1.

Resposta

E(Y)=2
\operatorname{Var}(Y)=1

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