Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura (em MPa):
;
. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de um concreto cujo traço e materiais de composição são habitualmente usados pela empresa que, por essa razão, admite como válida a variância
, construa os seguintes intervalos de confiança para
sob os níveis de confiança
pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
- intervalo bilateral sob
;
- intervalo unilateral limitado por um máximo sob
;
- intervalo unilateral limitado por um mínimo sob
;
- para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
Dados (resistências em MPa) dos corpos de prova:
.
Dados (resistências em MPa) dos
Informações adicionais fornecidas:
- Variância populacional admitida:
. Logo o desvio-padrão populacional é . - Tamanho da amostra:
.
O enunciado pede que se construa e discuta os seguintes intervalos de confiança para
(a média verdadeira das resistências):
- Intervalo bilateral com nível de confiança
. - Intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) com nível de confiança
. - Intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) com nível de confiança
.
Passo 2
Calcular a média amostral
passo a passo (somando os valores e dividindo por
):
Somando os dados:
Portanto a média amostral é
Comentário rápido:
é nossa melhor estimativa pontual para
.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão populacional e o erro padrão da média (porque a variância
é dada e aceita pela empresa).
Desvio-padrão populacional:
Erro padrão da média (desvio-padrão da média amostral):
Aqui
é a incerteza típica na média amostral por causa da variabilidade populacional e do tamanho da amostra.
Passo 4
Explicar a fórmula que vamos usar (aula curta e didática).
Quando a variância populacional
é conhecida e as observações são (aproximadamente) normais ou
razoavelmente grande, a distribuição da média amostral é dada por
Isso permite construir intervalos de confiança baseados nos quantis da Normal padrão
.
- Intervalo bilateral com nível
:
Aqui
é o ponto tal que
.
- Intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) com nível
:
Aqui
satisfaz
.
- Intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) com nível
:
Explicando os quantis: por exemplo
(valor clássico para 95% bilateral),
,
. Esses números vêm da tabela da Normal padrão: significam pontos tais que certa área acumulada fica à esquerda deles.
Passo 5
Construir o intervalo bilateral para
.
Temos
e
. O erro padrão já calculado é
.
Margem de erro:
Intervalo:
ou seja
Passo 6
Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo com
.
Aqui
e usamos
.
Margem:
O intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) é
ou seja
Interpretação prática imediata: com 90% de confiança podemos afirmar que
não excede aproximadamente
.
Passo 7
Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo com
.
Aqui
e usamos
.
Margem:
O intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) é
ou seja
Interpretação prática imediata: com 80% de confiança podemos afirmar que
é pelo menos aproximadamente
.
Passo 8
Discussão dos resultados e interpretação detalhada (o que cada intervalo significa, afinal).
- Intervalo bilateral
com 95%:
- Significado técnico: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes (sorteando amostras de tamanho
da mesma população com ), em cerca de 95% dos casos o intervalo bilateral construído pelo procedimento conteria o verdadeiro valor . Para a amostra que temos, o intervalo calculado é a faixa de valores plausíveis para com esse nível de confiança. - Interpretação prática simples: estamos 95% confiantes de que a média verdadeira
da resistência está entre e . - Observação: intervalo simétrico em torno de
. Metade da largura (a “margem de erro”) foi .
- Intervalo unilateral superior
com 90%:
- Significado técnico: o procedimento que dá o limite superior
falhará em conter (isto é, será maior que o limite) em aproximadamente das repetições; portanto em 90% das repetições o limite superior será maior ou igual a . - Interpretação prática simples: com 90% de confiança podemos dizer que a média verdadeira
não ultrapassa cerca de . Esse tipo de intervalo é útil quando o interesse é garantir que a média não seja maior que um certo valor (por exemplo, limites de especificação de cima). - Observação: por ser unilateral e ter nível 90% (menor que 95%), o limite superior fica mais próximo de
do que o limite superior do intervalo bilateral 95% — isto é, é mais “apertado” acima porque aceitamos menos confiança ou informação em um lado.
- Intervalo unilateral inferior
com 80%:
- Significado técnico: o procedimento que dá o limite inferior
falhará em conter (isto é, será menor que o limite) em aproximadamente das repetições; portanto em 80% das repetições o limite inferior será menor ou igual a . - Interpretação prática simples: com 80% de confiança podemos afirmar que a média verdadeira
é pelo menos aproximadamente . Esse tipo de intervalo é útil quando o interesse é garantir um piso mínimo (por exemplo, garantia de resistência mínima) e quando aceitamos um nível de confiança menor. - Observação: como o nível de confiança é só 80% (relativamente baixo), o limite inferior está mais próximo de
do que estaria para níveis de confiança maiores.
Passo 9
Comentários finais e recomendações (dicas para prova e entendimento):
- Porque usei a distribuição Normal (
) e não a : foi assumido que a variância populacional é conhecida e válida; nesse caso o procedimento correto usa quantis da Normal padrão. - Efeito de
e : o erro padrão controla a precisão; aumentar reduziria a margem de erro. Aqui é relativamente grande comparado à diferença entre valores, por isso as margens de erro não são negligenciáveis. - Comparação entre intervalos: intervalos unilaterais com o mesmo nível que um dos lados do bilateral tendem a ser “mais apertados” na direção desejada (ex.: limite superior unilateral 90% é menor que o limite superior do bilateral 95%), mas atenção: níveis diferentes (90% vs 95%) mudam a interpretação.
- Na prova: memorize as fórmulas (bilateral e unilateral) e os valores comuns de
(por exemplo , , ). Faça a conta do erro padrão com calma e rode as multiplicações passo a passo como fiz aqui.
Resposta
Intervalo bilateral 95%:
Intervalo unilateral (limitado por um máximo) 90%:
Intervalo unilateral (limitado por um mínimo) 80%: