Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura (em MPa): 16.025 ; 16.175 ; 16.125 ; 16.150 ; 16.125; 16.075 ; 16.150 ; 16.200 ; 16.050 ; 16.075. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de um concreto cujo traço e materiais de composição são habitualmente usados pela empresa que, por essa razão, admite como válida a variância \sigma^{2}=1.05 \mathrm{MPa}, construa os seguintes intervalos de confiança para \mu sob os níveis de confiança (1-\alpha) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
  • intervalo bilateral sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um máximo sob (1-\alpha)=0.90;
  • intervalo unilateral limitado por um mínimo sob (1-\alpha)=0.80;
  • para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes números do enunciado).
Dados (resistências em MPa) dos n=10 corpos de prova:
16{,}025;\;16{,}175;\;16{,}125;\;16{,}150;\;16{,}125;\;16{,}075;\;16{,}150;\;16{,}200;\;16{,}050;\;16{,}075.
Informações adicionais fornecidas:
  • Variância populacional admitida: \sigma^{2}=1{,}05\\ \mathrm{MPa}^{2}. Logo o desvio-padrão populacional é \sigma=\sqrt{1{,}05}\\ \mathrm{MPa}.
  • Tamanho da amostra: n=10.
O enunciado pede que se construa e discuta os seguintes intervalos de confiança para \mu (a média verdadeira das resistências):
  1. Intervalo bilateral com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}95.
  2. Intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}90.
  3. Intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}80.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{X} passo a passo (somando os valores e dividindo por n):
Somando os dados:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{10} x_i &= 16{,}025+16{,}175+16{,}125+16{,}150+16{,}125\\\ &\quad +16{,}075+16{,}150+16{,}200+16{,}050+16{,}075\\\ &=161{,}150. \end{aligned}
Portanto a média amostral é
\bar{X}=\frac{161{,}150}{10}=16{,}115\\ \mathrm{MPa}.
Comentário rápido: \bar{X} é nossa melhor estimativa pontual para \mu.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão populacional e o erro padrão da média (porque a variância \sigma^{2} é dada e aceita pela empresa).
Desvio-padrão populacional:
\sigma=\sqrt{1{,}05}\approx 1{,}024695\\ \mathrm{MPa}.
Erro padrão da média (desvio-padrão da média amostral):
\mathrm{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{1{,}05}}{\sqrt{10}}\approx 0{,}32404\\ \mathrm{MPa}.
Aqui \mathrm{SE}(\bar{X}) é a incerteza típica na média amostral por causa da variabilidade populacional e do tamanho da amostra.

Passo 4

Explicar a fórmula que vamos usar (aula curta e didática).
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e as observações são (aproximadamente) normais ou n razoavelmente grande, a distribuição da média amostral é dada por
\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1).
Isso permite construir intervalos de confiança baseados nos quantis da Normal padrão Z.
  • Intervalo bilateral com nível (1-\alpha):
\bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui z_{1-\alpha/2} é o ponto tal que \Pr(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2.
  • Intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) com nível (1-\alpha):
(-\infty,\;\bar{X}+z_{1-\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}].
Aqui z_{1-\alpha} satisfaz \Pr(Z\le z_{1-\alpha})=1-\alpha.
  • Intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) com nível (1-\alpha):
[\;\bar{X}-z_{1-\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\infty).
Explicando os quantis: por exemplo z_{0{,}975}=1{,}96 (valor clássico para 95% bilateral), z_{0{,}90}\approx 1{,}28155, z_{0{,}80}\approx 0{,}84162. Esses números vêm da tabela da Normal padrão: significam pontos tais que certa área acumulada fica à esquerda deles.

Passo 5

Construir o intervalo bilateral para (1-\alpha)=0{,}95.
Temos \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}=1{,}96. O erro padrão já calculado é \mathrm{SE}(\bar{X})\approx 0{,}32404.
Margem de erro:
E_{0{,}95}=z_{0{,}975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot 0{,}32404\approx 0{,}63512\\ \mathrm{MPa}.
Intervalo:
\bar{X}\pm E_{0{,}95} = 16{,}115 \pm 0{,}63512
ou seja
(16{,}115-0{,}63512,\;16{,}115+0{,}63512)\approx (15{,}480,\;16{,}750)\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo com (1-\alpha)=0{,}90.
Aqui \alpha=0{,}10 e usamos z_{1-\alpha}=z_{0{,}90}\approx 1{,}28155.
Margem:
E_{0{,}90}^{\text{(uni sup)}}=z_{0{,}90}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 1{,}28155\cdot 0{,}32404 \approx 0{,}41527\\ \mathrm{MPa}.
O intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) é
(-\infty,\;\bar{X}+E_{0{,}90}^{\text{(uni sup)}}] = (-\infty,\;16{,}115+0{,}41527]
ou seja
(-\infty,\;16{,}530)\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{aprox. }16{,}530).
Interpretação prática imediata: com 90% de confiança podemos afirmar que \mu não excede aproximadamente 16{,}530\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo com (1-\alpha)=0{,}80.
Aqui \alpha=0{,}20 e usamos z_{1-\alpha}=z_{0{,}80}\approx 0{,}84162.
Margem:
E_{0{,}80}^{\text{(uni inf)}}=z_{0{,}80}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 0{,}84162\cdot 0{,}32404 \approx 0{,}27272\\ \mathrm{MPa}.
O intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) é
[\;\bar{X}-E_{0{,}80}^{\text{(uni inf)}},\;\infty) = [\;16{,}115-0{,}27272,\;\infty)
ou seja
[\,15{,}842,\;\infty)\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{aprox. }15{,}842).
Interpretação prática imediata: com 80% de confiança podemos afirmar que \mu é pelo menos aproximadamente 15{,}842\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Discussão dos resultados e interpretação detalhada (o que cada intervalo significa, afinal).
  1. Intervalo bilateral (15{,}480,\;16{,}750) com 95%:
  • Significado técnico: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes (sorteando amostras de tamanho n=10 da mesma população com \sigma^{2}=1{,}05), em cerca de 95% dos casos o intervalo bilateral construído pelo procedimento \bar{X}\pm z_{0{,}975}\sigma/\sqrt{n} conteria o verdadeiro valor \mu. Para a amostra que temos, o intervalo calculado é a faixa de valores plausíveis para \mu com esse nível de confiança.
  • Interpretação prática simples: estamos 95% confiantes de que a média verdadeira \mu da resistência está entre 15{,}480 e 16{,}750\\ \mathrm{MPa}.
  • Observação: intervalo simétrico em torno de \bar{X}. Metade da largura (a “margem de erro”) foi \approx 0{,}635\\ \mathrm{MPa}.
  1. Intervalo unilateral superior (-\infty,\;16{,}530) com 90%:
  • Significado técnico: o procedimento que dá o limite superior \bar{X}+z_{0{,}90}\sigma/\sqrt{n} falhará em conter \mu (isto é, \mu será maior que o limite) em aproximadamente \alpha=10\% das repetições; portanto em 90% das repetições o limite superior será maior ou igual a \mu.
  • Interpretação prática simples: com 90% de confiança podemos dizer que a média verdadeira \mu não ultrapassa cerca de 16{,}530\\ \mathrm{MPa}. Esse tipo de intervalo é útil quando o interesse é garantir que a média não seja maior que um certo valor (por exemplo, limites de especificação de cima).
  • Observação: por ser unilateral e ter nível 90% (menor que 95%), o limite superior fica mais próximo de \bar{X} do que o limite superior do intervalo bilateral 95% — isto é, é mais “apertado” acima porque aceitamos menos confiança ou informação em um lado.
  1. Intervalo unilateral inferior [15{,}842,\;\infty) com 80%:
  • Significado técnico: o procedimento que dá o limite inferior \bar{X}-z_{0{,}80}\sigma/\sqrt{n} falhará em conter \mu (isto é, \mu será menor que o limite) em aproximadamente \alpha=20\% das repetições; portanto em 80% das repetições o limite inferior será menor ou igual a \mu.
  • Interpretação prática simples: com 80% de confiança podemos afirmar que a média verdadeira \mu é pelo menos aproximadamente 15{,}842\\ \mathrm{MPa}. Esse tipo de intervalo é útil quando o interesse é garantir um piso mínimo (por exemplo, garantia de resistência mínima) e quando aceitamos um nível de confiança menor.
  • Observação: como o nível de confiança é só 80% (relativamente baixo), o limite inferior está mais próximo de \bar{X} do que estaria para níveis de confiança maiores.

Passo 9

Comentários finais e recomendações (dicas para prova e entendimento):
  • Porque usei a distribuição Normal ( Z) e não a t: foi assumido que a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e válida; nesse caso o procedimento correto usa quantis da Normal padrão.
  • Efeito de n e \sigma: o erro padrão \sigma/\sqrt{n} controla a precisão; aumentar n reduziria a margem de erro. Aqui \sigma^{2}=1{,}05 é relativamente grande comparado à diferença entre valores, por isso as margens de erro não são negligenciáveis.
  • Comparação entre intervalos: intervalos unilaterais com o mesmo nível que um dos lados do bilateral tendem a ser “mais apertados” na direção desejada (ex.: limite superior unilateral 90% é menor que o limite superior do bilateral 95%), mas atenção: níveis diferentes (90% vs 95%) mudam a interpretação.
  • Na prova: memorize as fórmulas (bilateral e unilateral) e os valores comuns de z (por exemplo z_{0{,}975}\approx1{,}96, z_{0{,}90}\approx1{,}2816, z_{0{,}80}\approx0{,}8416). Faça a conta do erro padrão com calma e rode as multiplicações passo a passo como fiz aqui.

Resposta

Intervalo bilateral 95%: (15{,}480,\;16{,}750)\\ \mathrm{MPa}
Intervalo unilateral (limitado por um máximo) 90%: (-\infty,\;16{,}530)\\ \mathrm{MPa}
Intervalo unilateral (limitado por um mínimo) 80%: [15{,}842,\;\infty)\\ \mathrm{MPa}

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