Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou 10 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 18.30; 16.16; 16.38; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19; 15.01; 15.75; 17.51. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de um concreto cujo traço e materiais de composição nuca foram usados pela empresa construa os seguintes intervalos de confiança para \mu sob os níveis de confiança (1-\alpha) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
  • intervalo bilateral sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um máximo sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um mínimo sob (1-\alpha)=0.90;
  • para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
  • O enunciado dá as resistências de ruptura (em MPa) de n=10 corpos de prova:
    \;18,30;\;16,16;\;16,38;\;16,09;\;15,06;\;17,99;\;16,19;\;15,01;\;15,75;\;17,51.
  • Perguntas a responder:
    1. Construir o intervalo de confiança bilateral para \mu com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}95.
    2. Construir o intervalo de confiança unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) para \mu com (1-\alpha)=0{,}95.
    3. Construir o intervalo de confiança unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para \mu com (1-\alpha)=0{,}90.
    4. Para cada intervalo, explicar detalhadamente o que ele significa.
Informações relevantes implícitas que usarei (não estou resolvendo ainda; só listando):
  • A variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=10). Logo usarei a distribuição t de Student com n-1=9 graus de liberdade, assumindo aproximadamente normalidade das resistências.
  • Fórmulas que serão usadas (apenas listadas agora): \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\qquad s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2,\qquad \text{erro padrão } = \frac{s}{\sqrt{n}}.ã

Passo 2

Calcular a média amostral \bar X.
  • Somando os valores (peguei estes números do enunciado): \sum_{i=1}^{10} X_i = 18{,}30+16{,}16+16{,}38+16{,}09+15{,}06+17{,}99+16{,}19+15{,}01+15{,}75+17{,}51 = 164{,}44.
  • A média amostral é \bar X=\frac{164{,}44}{10}=16{,}444.
Explicação didática: a média amostral \bar X é a soma dos valores dividida pelo número de observações; é o melhor estimador pontual (não enviesado) para a média populacional \mu quando usamos amostragem aleatória simples.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^2 e o desvio-padrão amostral s.
  • Usando a fórmula s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2,calculei as diferenças X_i-\bar X, seus quadrados e somei. O somatório dos quadrados das diferenças deu \sum_{i=1}^{10} (X_i-\bar X)^2 = 11{,}702376.
  • Portanto s^2=\frac{11{,}702376}{9}=1{,}300264\qquad\Rightarrow\qquad s=\sqrt{1{,}300264}\approx1{,}1403.
Explicação didática: s^2 corrige pela perda de um grau de liberdade (dividindo por n-1) porque usamos \bar X para estimar a média; s é o desvio-padrão amostral e mede a dispersão das observações em torno da média.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (a variabilidade de \bar X):
  • A fórmula é \text{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo os valores: \text{SE}(\bar X)=\frac{1{,}1403}{\sqrt{10}}=\frac{1{,}1403}{3{,}1623}\approx0{,}3606.
Explicação didática: o erro padrão diz quanto, em média, a média amostral \bar X varia de uma amostra para outra; quanto maior n, menor o erro padrão.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança bilateral com nível 1-\alpha=0{,}95.
  • Fórmula do intervalo bilateral (t de Student, variância desconhecida): \bar X \pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.Aqui \bar X é a média amostral, s o desvio amostral, n o tamanho da amostra e t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Para 1-\alpha=0{,}95 temos \alpha/2=0{,}025. Com n-1=9 graus de liberdade: t_{0{,}975,\;9}\approx 2{,}262.
  • A margem de erro é E = 2{,}262\cdot 0{,}3606 \approx 0{,}816.
  • Assim o intervalo bilateral de 95\% é \left[\,\bar X - E,\;\bar X + E\,\right] = \left[\,16{,}444-0{,}816,\;16{,}444+0{,}816\,\right] = \left[\,15{,}628,\;17{,}260\,\right].
Arredondando para duas casas decimais: \left[15{,}63,\;17{,}26\right] MPa.
Interpretação didática do que esse intervalo significa:
  • Linguagem informal e útil para prova: “Com 95\% de confiança, a verdadeira média de resistência \mu está entre 15{,}63 MPa e 17{,}26 MPa.”
  • Linguagem formal (frequentista): “O procedimento de construir o intervalo \bar X \pm t_{0{,}975,9}\cdot s/\sqrt{n} tem a propriedade de cobertura: em repetições independentes do experimento, 95\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam o valor verdadeiro \mu. Para os dados que temos, obtivemos o intervalo [15{,}63,\;17{,}26].”
  • Observação importante sobre pressuposto: essa conclusão usa a hipótese de que as observações são aproximadamente normais (ou suficientes para aplicar t com n=10); se a distribuição for fortemente assimétrica ou houver outliers, a validade fica comprometida.

Passo 6

Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo (limite superior) com nível 1-\alpha=0{,}95.
  • Fórmula do limite superior (one-sided upper 100(1-\alpha)\% CI): (-\infty,\; \bar X + t_{1-\alpha,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}].Aqui usamos o quantil t_{1-\alpha,\;n-1} porque toda a probabilidade de \alpha fica numa única cauda.
  • Para 1-\alpha=0{,}95 temos 1-\alpha=0{,}95\Rightarrow \alpha=0{,}05. Com n-1=9: t_{0{,}95,\;9}\approx 1{,}833.
  • O limite superior é U=\bar X + 1{,}833\cdot 0{,}3606 \approx 16{,}444 + 0{,}6609 \approx 17{,}105.
Arredondando: U\approx17{,}11 MPa.
Interpretação didática do intervalo unilateral superior:
  • Linguagem comum: “Com 95\% de confiança, a média \mu não excede 17{,}11 MPa.” Ou de modo equivalente: o intervalo de confiança unilateral é (-\infty,\;17{,}11].
  • Linguagem formal: “O procedimento que calcula U=\bar X + t_{0{,}95,9}\,s/\sqrt{n} produz, em 95\% das repetições experimentais, um limite superior que é maior ou igual ao verdadeiro \mu. Com os dados obtidos, o limite superior é 17{,}11 MPa.”
  • Observação prática: o limite superior unilateral é útil quando só interessa saber um teto para \mu (por exemplo, garantir que a média não exceda um valor de segurança). Note que o limite superior 17{,}11 é mais “apertado” (menor) que o limite superior do intervalo bilateral de 95\% ( 17{,}26), porque distribuir toda a probabilidade de erro numa só cauda usa um quantil t menor.

Passo 7

Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo (limite inferior) com nível 1-\alpha=0{,}90.
  • Fórmula do limite inferior (one-sided lower 100(1-\alpha)\% CI): [\,\bar X - t_{1-\alpha,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},\;+\infty).
  • Aqui 1-\alpha=0{,}90\Rightarrow \alpha=0{,}10. Com n-1=9: t_{0{,}90,\;9}\approx 1{,}383.
  • O limite inferior é L=\bar X - 1{,}383\cdot 0{,}3606 \approx 16{,}444 - 0{,}4987 \approx 15{,}945.
Arredondando: L\approx15{,}95 MPa. Então o intervalo unilateral inferior é [15{,}95,\;+\infty).
Interpretação didática do intervalo unilateral inferior:
  • Linguagem comum: “Com 90\% de confiança, a média \mu é pelo menos 15{,}95 MPa.” Ou seja, estamos 90\% confiantes de que \mu\ge 15{,}95.
  • Linguagem formal: “O procedimento que calcula L=\bar X - t_{0{,}90,9}\,s/\sqrt{n} produz, em 90\% das repetições, um limite inferior que é menor ou igual ao verdadeiro \mu. Com os dados, L=15{,}95.”
  • Observação prática: esse intervalo é útil quando interessa garantir um piso mínimo para \mu (por exemplo, assegurar que a resistência média não seja inferior a um valor de especificação). Repare que o nível de confiança pedido aqui foi menor ( 90\%) do que os outros ( 95\%), então o limite inferior é menos conservador (mais próximo da média) do que seria com 95\%.

Passo 8

Discussão comparativa e observações finais (como agir na prova/na prática).
  • Comparando os três resultados (valores aproximados):
    • Intervalo bilateral 95\%: [15{,}63,\;17{,}26] MPa.
    • Intervalo unilateral superior 95\%: (-\infty,\;17{,}11] MPa.
    • Intervalo unilateral inferior 90\%: [15{,}95,\;+\infty) MPa.
  • Observações sobre largura e níveis de confiança:
    • O intervalo bilateral 95\% dá informação em ambas as direções (um teto e um piso simultaneamente) e usa o quantil t_{0{,}975,9} maior. Por isso sua metade do comprimento (margem de erro) é maior que a de um limite unilateral com mesmo nível.
    • Um intervalo unilateral com o mesmo nível ( 95\%) tem quantil t_{0{,}95,9} menor, o que produz um limite (no lado de interesse) mais apertado. É por isso que o limite superior 17{,}11 é menor que o teto do intervalo bilateral 17{,}26.
    • O nível de confiança escolhido influencia a largura: maior confiança \Rightarrow intervalo mais largo; menor confiança \Rightarrow intervalo mais estreito.
  • Observações sobre pressupostos e validade:
    • Usei a t-de Student porque a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena. Isso supõe que as observações são aproximadamente independentes e vêm de uma população com distribuição aproximadamente normal. Se existirem evidências de forte assimetria ou outliers, esses intervalos podem ser enganosos.
  • Dica para a prova:
    • Quando pedirem “intervalo unilateral limitado por um máximo”, retorne (-\infty,\; \bar X + t_{1-\alpha,n-1}\cdot s/\sqrt{n}].
    • Quando pedirem “intervalo unilateral limitado por um mínimo”, retorne [\bar X - t_{1-\alpha,n-1}\cdot s/\sqrt{n},\; +\infty).
    • Sempre declare n, \bar X, s, o erro padrão e o t-crítico que usou antes de apresentar o intervalo — isso é pedido em provas e facilita conferir o raciocínio.

Resposta

Intervalo bilateral 95\%: [15{,}63,\;17{,}26] MPa
Intervalo unilateral (limite superior) 95\%: (-\infty,\;17{,}11] MPa
Intervalo unilateral (limite inferior) 90\%: [15{,}95,\;+\infty) MPa

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