Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou 10 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 18.30; 16.16; 16.38; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19; 15.01; 15.75; 17.51. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de um concreto cujo traço e materiais de composição nuca foram usados pela empresa construa os seguintes intervalos de confiança para
sob os níveis de confiança
pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
- intervalo bilateral sob
;
- intervalo unilateral limitado por um máximo sob
;
- intervalo unilateral limitado por um mínimo sob
;
- para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
- O enunciado dá as resistências de ruptura (em MPa) de
corpos de prova:
- Perguntas a responder:
- Construir o intervalo de confiança bilateral para
com nível de confiança . - Construir o intervalo de confiança unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) para
com . - Construir o intervalo de confiança unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para
com . - Para cada intervalo, explicar detalhadamente o que ele significa.
- Construir o intervalo de confiança bilateral para
Informações relevantes implícitas que usarei (não estou resolvendo ainda; só listando):
- A variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (
). Logo usarei a distribuição de Student com graus de liberdade, assumindo aproximadamente normalidade das resistências. - Fórmulas que serão usadas (apenas listadas agora):
Passo 2
Calcular a média amostral
.
- Somando os valores (peguei estes números do enunciado):
- A média amostral é
Explicação didática: a média amostral
é a soma dos valores dividida pelo número de observações; é o melhor estimador pontual (não enviesado) para a média populacional
quando usamos amostragem aleatória simples.
Passo 3
Calcular a variância amostral
e o desvio-padrão amostral
.
- Usando a fórmula
calculei as diferenças , seus quadrados e somei. O somatório dos quadrados das diferenças deu - Portanto
Explicação didática:
corrige pela perda de um grau de liberdade (dividindo por
) porque usamos
para estimar a média;
é o desvio-padrão amostral e mede a dispersão das observações em torno da média.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (a variabilidade de
):
- A fórmula é
- Substituindo os valores:
Explicação didática: o erro padrão diz quanto, em média, a média amostral
varia de uma amostra para outra; quanto maior
, menor o erro padrão.
Passo 5
Construir o intervalo de confiança bilateral com nível
.
- Fórmula do intervalo bilateral (t de Student, variância desconhecida):
Aqui é a média amostral, o desvio amostral, o tamanho da amostra e é o quantil da distribuição com graus de liberdade. - Para
temos . Com graus de liberdade: - A margem de erro é
- Assim o intervalo bilateral de
é
Arredondando para duas casas decimais:
MPa.
Interpretação didática do que esse intervalo significa:
- Linguagem informal e útil para prova: “Com
de confiança, a verdadeira média de resistência está entre MPa e MPa.” - Linguagem formal (frequentista): “O procedimento de construir o intervalo
tem a propriedade de cobertura: em repetições independentes do experimento, dos intervalos construídos dessa forma conteriam o valor verdadeiro . Para os dados que temos, obtivemos o intervalo .” - Observação importante sobre pressuposto: essa conclusão usa a hipótese de que as observações são aproximadamente normais (ou suficientes para aplicar
com ); se a distribuição for fortemente assimétrica ou houver outliers, a validade fica comprometida.
Passo 6
Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo (limite superior) com nível
.
- Fórmula do limite superior (one-sided upper
CI): Aqui usamos o quantil porque toda a probabilidade de fica numa única cauda. - Para
temos . Com : - O limite superior é
Arredondando:
MPa.
Interpretação didática do intervalo unilateral superior:
- Linguagem comum: “Com
de confiança, a média não excede MPa.” Ou de modo equivalente: o intervalo de confiança unilateral é . - Linguagem formal: “O procedimento que calcula
produz, em das repetições experimentais, um limite superior que é maior ou igual ao verdadeiro . Com os dados obtidos, o limite superior é MPa.” - Observação prática: o limite superior unilateral é útil quando só interessa saber um teto para
(por exemplo, garantir que a média não exceda um valor de segurança). Note que o limite superior é mais “apertado” (menor) que o limite superior do intervalo bilateral de ( ), porque distribuir toda a probabilidade de erro numa só cauda usa um quantil menor.
Passo 7
Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo (limite inferior) com nível
.
- Fórmula do limite inferior (one-sided lower
CI): - Aqui
. Com : - O limite inferior é
Arredondando:
MPa. Então o intervalo unilateral inferior é
.
Interpretação didática do intervalo unilateral inferior:
- Linguagem comum: “Com
de confiança, a média é pelo menos MPa.” Ou seja, estamos confiantes de que . - Linguagem formal: “O procedimento que calcula
produz, em das repetições, um limite inferior que é menor ou igual ao verdadeiro . Com os dados, .” - Observação prática: esse intervalo é útil quando interessa garantir um piso mínimo para
(por exemplo, assegurar que a resistência média não seja inferior a um valor de especificação). Repare que o nível de confiança pedido aqui foi menor ( ) do que os outros ( ), então o limite inferior é menos conservador (mais próximo da média) do que seria com .
Passo 8
Discussão comparativa e observações finais (como agir na prova/na prática).
- Comparando os três resultados (valores aproximados):
- Intervalo bilateral
: MPa. - Intervalo unilateral superior
: MPa. - Intervalo unilateral inferior
: MPa.
- Intervalo bilateral
- Observações sobre largura e níveis de confiança:
- O intervalo bilateral
dá informação em ambas as direções (um teto e um piso simultaneamente) e usa o quantil maior. Por isso sua metade do comprimento (margem de erro) é maior que a de um limite unilateral com mesmo nível. - Um intervalo unilateral com o mesmo nível (
) tem quantil menor, o que produz um limite (no lado de interesse) mais apertado. É por isso que o limite superior é menor que o teto do intervalo bilateral . - O nível de confiança escolhido influencia a largura: maior confiança
intervalo mais largo; menor confiança intervalo mais estreito.
- O intervalo bilateral
- Observações sobre pressupostos e validade:
- Usei a
-de Student porque a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena. Isso supõe que as observações são aproximadamente independentes e vêm de uma população com distribuição aproximadamente normal. Se existirem evidências de forte assimetria ou outliers, esses intervalos podem ser enganosos.
- Usei a
- Dica para a prova:
- Quando pedirem “intervalo unilateral limitado por um máximo”, retorne
. - Quando pedirem “intervalo unilateral limitado por um mínimo”, retorne
. - Sempre declare
, , , o erro padrão e o -crítico que usou antes de apresentar o intervalo — isso é pedido em provas e facilita conferir o raciocínio.
- Quando pedirem “intervalo unilateral limitado por um máximo”, retorne
Resposta
Intervalo bilateral
:
MPa
Intervalo unilateral (limite superior)
:
MPa
Intervalo unilateral (limite inferior)
:
MPa