Uma empresa investe
mil ($) em propaganda. Sua função receita é modelada da seguinte forma:
. A partir do uso de derivadas, qual o investimento que maximiza a receita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma empresa investe $ x $ mil dólares em publicidade, e a receita dessa empresa é dada pela função $ R(x) = -2x^{2} + 40x + 200 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ x $ que maximiza essa receita. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de máximo da função receita.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função receita $ R(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação da receita conforme o investimento muda. A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto de máximo, precisamos achar onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação:
Vamos resolver para $ x $:
Passo 4
Encontramos que $ x = 10 $. Isso significa que, de acordo com a função receita, o investimento que maximiza a receita é de 10 mil dólares.
Resposta
O investimento que maximiza a receita é de 10 mil dólares.