Uma empresa investe x mil ($) em propaganda. Sua função receita é modelada da seguinte forma: ) em propaganda Sua função receita é modelada da seguinte forma: . A partir do uso de derivadas, qual o investimento que maximiza a receita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma empresa investe $ x $ mil dólares em publicidade, e a receita dessa empresa é dada pela função $ R(x) = -2x^{2} + 40x + 200 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ x $ que maximiza essa receita. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de máximo da função receita.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função receita $ R(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação da receita conforme o investimento muda. A função é:
R(x)
Vamos derivar termo a termo:
x
Calculando cada derivada:
R(x) = -2x^2 + 40x + 200
R'(x) = ddx(-2x^2) + ddx(40x) + ddx(200)
ddx(-2x^2) = -4x
Então,
ddx(40x) = 40

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto de máximo, precisamos achar onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação:
R'(x) = -4x + 40 = 0
Vamos resolver para $ x $:
x
-4x + 40 = 0
-4x = -40

Passo 4

Encontramos que $ x = 10 $. Isso significa que, de acordo com a função receita, o investimento que maximiza a receita é de 10 mil dólares.

Resposta

O investimento que maximiza a receita é de 10 mil dólares.

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