(a) Prove que, se um gráfico é simétrico em relação ao eixo
e ao eixo
, então é simétrico em relação à origem. Dê um exemplo que mostre que a recíproca não é verdadeira.
(b) Prove que, se um gráfico é simétrico em relação a um eixo e à origem, então é simétrico com respeito ao outro eixo.
(b) Prove que, se um gráfico é simétrico em relação a um eixo e à origem, então é simétrico com respeito ao outro eixo.
Passo 1
O enunciado trata de simetria de um gráfico (conjunto de pontos S ⊂ ℝ²) em relação aos eixos x, y e à origem. Vamos usar as definições de simetria: S é simétrico em relação ao eixo x se (x,y)∈S ⇒ (x,−y)∈S; simétrico em relação ao eixo y se (x,y)∈S ⇒ (−x,y)∈S; e simétrico em relação à origem se (x,y)∈S ⇒ (−x,−y)∈S.
Passo 2
Definindo S como o conjunto de pontos do gráfico, suponha que S seja simétrico aos eixos x e y. Tome um ponto arbitrário (x,y)∈S. Pela simetria ao eixo y temos (−x,y)∈S. Agora, aplicando simetria ao eixo x nesse ponto, obtemos (−x,−y)∈S. Logo, todo (x,y)∈S implica (−x,−y)∈S, provando a simetria em relação à origem.
Passo 3
Para ver que a recíproca falha, considere o gráfico da reta y=x. Se (x,y) satisfaz y=x, então (−x,−y) também satisfaz (−y=−x ⇒ y=x), de modo que o gráfico é simétrico à origem. Porém, o ponto (1,1)∈S reflete para (1,−1) sob o eixo x, que não pertence à reta y=x, e para (−1,1) sob o eixo y, que também não pertence. Assim, não há simetria nos eixos.
Passo 4
Agora provamos (b). Suponha S simétrico ao eixo x e à origem. Para (x,y)∈S, a simetria à origem dá (−x,−y)∈S; em seguida, a simetria ao eixo x transforma esse ponto em (−x,y)∈S. Isso mostra simetria em relação ao eixo y.
Passo 5
De modo análogo, se S for simétrico ao eixo y e à origem, então (x,y)⇒(−x,−y) pela origem ⇒(x,−y) pelo eixo y, garantindo simetria ao eixo x.
Resposta
(a) Demonstrado que simetria aos eixos x e y implica simetria à origem; contra-exemplo da reta y=x mostra que a recíproca não vale. (b) Demonstrado que simetria a um eixo junto com simetria à origem implica simetria ao outro eixo.