Encontre uma equação do gráfico que consiste de todos os pontos (x, y) a uma dada distância da origem.
A distância da origem é K(K neq 1) vezes a distância do ponto (2,0).

Passo 1

A questão pede o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) cuja distância até a origem é K vezes a distância até o ponto (2,0). O conteúdo é geometria analítica, e vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

A fórmula da distância do ponto (x,y) até a origem (0,0) é raizx^2+y^2, e até o ponto (2,0) é raiz(x-2)^2+y^2. A condição dada é:
raizx^2 + y^2 = K,raiz(x-2)^2 + y^2

Passo 3

Elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar as raízes, lembrando que as distâncias são não negativas:
x^2 + y^2 = K^2l((x-2)^2 + y^2r)

Passo 4

Expandindo o lado direito e trazendo tudo para um só lado:
x^2 + y^2 = K^2(x^2 - 4x + 4 + y^2)
x^2 + y^2 - K^2 x^2 - K^2 y^2 + 4K^2 x - 4K^2 = 0

Passo 5

Agrupando termos semelhantes:
(1 - K^2)(x^2 + y^2) + 4K^2 x - 4K^2 = 0
Como K neq 1, esta é a equação procurada do lugar geométrico (é um círculo para cada valor fixo de K).

Resposta

(1 - K2)(x2 + y^2) + 4K^2 x - 4K^2 = 0

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