O número de táxis que, por hora, recolhe passageiros na área das chegadas de um pequeno aeroporto segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=60.
O número de passageiros por táxi (Y) segue a distribuição: Y=\{1,2,3,4\}, p_{Y}(y)=\{0.60,0.20,0.10,0.10\},
Considere dois táxis que saem, um atrás do outro, da área de chegadas do aeroporto. Qual a probabilidade de o número de passageiros do primeiro táxi exceder o número de passageiros do segundo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dito que, por hora, o número de táxis que recolhe passageiros segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=60.
  • O número de passageiros por táxi é uma variável aleatória Y com suporte \{1,2,3,4\} e massa de probabilidade p_Y(1)=0{,}60,\qquad p_Y(2)=0{,}20,\qquad p_Y(3)=0{,}10,\qquad p_Y(4)=0{,}10.(Peguei esses números do enunciado.)
  • O enunciado pede: considere dois táxis que saem, um atrás do outro; qual a probabilidade de o número de passageiros do primeiro táxi exceder o número de passageiros do segundo? Em símbolos: calcular \mathbb{P}(Y_1>Y_2), onde Y_1 é o número de passageiros do primeiro táxi e Y_2 do segundo.

Passo 2

Assunção e definição das variáveis (explicando o raciocínio passo a passo).
  • Vou assumir que a distribuição dada para Y vale para cada táxi individualmente e que os dois táxis são independentes entre si. Isso é natural quando o enunciado dá a distribuição “por táxi” — significa que cada táxi tem a mesma lei marginal e, salvo indicação em contrário, tratam-se de observações independentes.
  • Formalmente, isso significa que para quaisquer i,j\in\{1,2,3,4\} vale \mathbb{P}(Y_1=i,Y_2=j)=\mathbb{P}(Y_1=i)\,\mathbb{P}(Y_2=j)=p_Y(i)\,p_Y(j).
  • Explicando com calma: independência quer dizer que saber quantos passageiros teve o primeiro táxi não altera a probabilidade de quantos terá o segundo; então a probabilidade conjunta fatoriza como o produto das marginais. É uma hipótese razoável aqui e facilita a conta.

Passo 3

Formulação da probabilidade que queremos calcular.
  • A probabilidade pedida é \mathbb{P}(Y_1>Y_2)=\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}\mathbf{1}_{\{i>j\}}\,\mathbb{P}(Y_1=i,Y_2=j),onde \mathbf{1}_{\{i>j\}} é 1 se i>j e 0 caso contrário.
  • Usando independência isso vira a soma dupla dos produtos das probabilidades marginais: \mathbb{P}(Y_1>Y_2)=\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}\mathbf{1}_{\{i>j\}}\,p_Y(i)\,p_Y(j).
  • Como os possíveis valores são só 1,2,3,4, vou calcular explicitamente as contribuições de cada par (i,j) com i>j.

Passo 4

Cálculo das contribuições pares a pares (conto tudo passo a passo, sem pular etapas).
  • Para i=1 não há j com 1>j. Contribuição total: 0.
  • Para i=2 j=1 satisfaz 2>1. Contribuição:
    p_Y(2)\,p_Y(1)=0{,}20\times0{,}60=0{,}12.
  • Para i=3 os j possíveis são 1,2. Contribuições:
    p_Y(3)\,p_Y(1)=0{,}10\times0{,}60=0{,}06,
p_Y(3)\,p_Y(2)=0{,}10\times0{,}20=0{,}02.
Soma para i=3: 0{,}06+0{,}02=0{,}08.
  • Para i=4 os j possíveis são 1,2,3. Contribuições: p_Y(4)\,p_Y(1)=0{,}10\times0{,}60=0{,}06,
p_Y(4)\,p_Y(2)=0{,}10\times0{,}20=0{,}02,
p_Y(4)\,p_Y(3)=0{,}10\times0{,}10=0{,}01.
Soma para i=4: 0{,}06+0{,}02+0{,}01=0{,}09.
  • Agora somo todas as contribuições: 0{,}12 + 0{,}08 + 0{,}09 = 0{,}29.

Passo 5

Cheque alternativo (estratégia útil para prova e para conferir o resultado).
  • Como Y_1 e Y_2 são iid (independentes e identicamente distribuídas), por simetria vale \mathbb{P}(Y_1>Y_2)=\mathbb{P}(Y_1<Y_2).
  • Então 2\,\mathbb{P}(Y_1>Y_2)+\mathbb{P}(Y_1=Y_2)=1.
  • Calculo \mathbb{P}(Y_1=Y_2)=\sum_{i=1}^{4}p_Y(i)^2: 0{,}60^2+0{,}20^2+0{,}10^2+0{,}10^2=0{,}36+0{,}04+0{,}01+0{,}01=0{,}42.
  • Assim \mathbb{P}(Y_1>Y_2)=\frac{1-0{,}42}{2}=0{,}29,que confere com a soma direta feita antes — bom sinal de que o cálculo está correto.

Resposta

0{,}29

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