O número de táxis que, por hora, recolhe passageiros na área das chegadas de um pequeno aeroporto segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
.
O número de passageiros por táxi
segue a distribuição:
,
Considere dois táxis que saem, um atrás do outro, da área de chegadas do aeroporto. Qual a probabilidade de o número de passageiros do primeiro táxi exceder o número de passageiros do segundo?
Considere dois táxis que saem, um atrás do outro, da área de chegadas do aeroporto. Qual a probabilidade de o número de passageiros do primeiro táxi exceder o número de passageiros do segundo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dito que, por hora, o número de táxis que recolhe passageiros segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. - O número de passageiros por táxi é uma variável aleatória
com suporte e massa de probabilidade (Peguei esses números do enunciado.) - O enunciado pede: considere dois táxis que saem, um atrás do outro; qual a probabilidade de o número de passageiros do primeiro táxi exceder o número de passageiros do segundo? Em símbolos: calcular
, onde é o número de passageiros do primeiro táxi e do segundo.
Passo 2
Assunção e definição das variáveis (explicando o raciocínio passo a passo).
- Vou assumir que a distribuição dada para
vale para cada táxi individualmente e que os dois táxis são independentes entre si. Isso é natural quando o enunciado dá a distribuição “por táxi” — significa que cada táxi tem a mesma lei marginal e, salvo indicação em contrário, tratam-se de observações independentes. - Formalmente, isso significa que para quaisquer
vale - Explicando com calma: independência quer dizer que saber quantos passageiros teve o primeiro táxi não altera a probabilidade de quantos terá o segundo; então a probabilidade conjunta fatoriza como o produto das marginais. É uma hipótese razoável aqui e facilita a conta.
Passo 3
Formulação da probabilidade que queremos calcular.
- A probabilidade pedida é
onde é 1 se e 0 caso contrário. - Usando independência isso vira a soma dupla dos produtos das probabilidades marginais:
- Como os possíveis valores são só
, vou calcular explicitamente as contribuições de cada par com .
Passo 4
Cálculo das contribuições pares a pares (conto tudo passo a passo, sem pular etapas).
-
Para
não há com . Contribuição total: . -
Para
só satisfaz . Contribuição: -
Para
os possíveis são . Contribuições:
Soma para
:
.
- Para
os possíveis são . Contribuições:
Soma para
:
.
- Agora somo todas as contribuições:
Passo 5
Cheque alternativo (estratégia útil para prova e para conferir o resultado).
- Como
e são iid (independentes e identicamente distribuídas), por simetria vale - Então
- Calculo
: - Assim
que confere com a soma direta feita antes — bom sinal de que o cálculo está correto.