De 50.000 válvulas fabricadas para uma determinada companhia petroleira, retira-se uma amostra de 400 válvulas, e observa-se na amostra tempo de duração médio de 700 horas. Sabe-se que o tempo de duração desse tipo de válvula tem desvio padrão de 100 horas.
a) Determine um intervalo de confiança de 95 \% de confiança para a média dos tempos de duração das válvulas.
b) O contrato com o fornecedor estabelece que as peças tenham duração mínima de 800 horas, em média. Que evidências o IC calculado no item a) traz sobre isso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular um intervalo de confiança de 95\% para a média dos tempos de duração das válvulas; (b) dizer que evidência esse intervalo traz sobre a afirmação do contrato de que a duração média é pelo menos 800 horas.
Dados fornecidos (todos os números matemáticos estão em TeX):
\;N=50\,000 (tamanho da população),
\;n=400 (tamanho da amostra),
\;\overline{x}=700 horas (média amostral),
\;\sigma=100 horas (desvio padrão populacional conhecido),
\; \text{nível de confiança} = 95\%íç.

Passo 2

Qual fórmula usar e o que cada símbolo significa. Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média \mu usa a distribuição normal padrão. A fórmula geral é:
\overline{x}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde
\overline{x} é a média observada na amostra;
\sigma é o desvio padrão da população;
n é o tamanho da amostra;
z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área entre -z_{1-\alpha/2} e z_{1-\alpha/2} é 1-\alpha. Para 95\% de confiança, 1-\alpha=0{,}95 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}.
A quantidade \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média: ela mede a variabilidade típica de \overline{x} em amostras de tamanho n.

Passo 3

Verificação rápida sobre correção por população finita. A razão amostra/população é
\frac{n}{N}=\frac{400}{50\,000}=0{,}008.
Como \dfrac{n}{N}<0{,}05, a correção por população finita é desprezível e podemos usar a fórmula sem correção. (Se \dfrac{n}{N} fosse grande, multiplicaríamos o erro padrão por \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{100}{\sqrt{400}}=\frac{100}{20}=5 \text{ horas}.ã
Explicação: \sqrt{n} diminui a variabilidade da média; com amostra maior, o erro padrão fica menor.

Passo 5

Obter o valor crítico z_{0{,}975}. Pelo tabelamento da normal padrão, para 95\% de confiança temos
z_{0{,}975}=1{,}96.
Significado: há 97{,}5\% da massa acumulada até 1{,}96 na normal padrão, deixando 2{,}5\% em cada cauda.

Passo 6

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=z_{0{,}975}\cdot\text{erro padrão}=1{,}96\cdot 5=9{,}8 \text{ horas}.ã

Passo 7

Construir o intervalo de confiança aplicando a fórmula:
\overline{x}\pm \text{margem}=700\pm 9{,}8.
Então os extremos do intervalo são
700-9{,}8=690{,}2\qquad\text{e}\qquad 700+9{,}8=709{,}8.
Interpretação didática: o intervalo [690{,}2;709{,}8] significa que, com o procedimento usado (amostrar 400 válvulas e aplicar esta fórmula), em longas repetições aproximadamente 95\% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional \mu. Não é correto dizer que a probabilidade da média estar no intervalo é 95\% condicional à média já calculada, mas na prática usamos essa linguagem intuitiva: temos alta confiança de que \mu está entre 690{,}2 e 709{,}8 horas.

Passo 8

Responder (b): comparar com a exigência contratual de \,800 horas. Observação direta: \,800 horas não pertence ao intervalo [690{,}2;709{,}8]; está muito acima do limite superior 709{,}8. Isso significa que, ao nível de confiança de 95\%, os dados amostrais não sustentam a hipótese de que a verdadeira média seja \ge 800 horas. Em termos práticos: há evidência forte, com base nesta amostra, de que a média real é menor do que \,800 horas — isto é, o fornecedor aparentemente não cumpre a cláusula do contrato. Para reforçar a ideia numericamente, o teste z correspondente daria
z=\frac{\overline{x}-800}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{700-800}{5}=-20,
o que é extremamente significativo (p-valor praticamente 0), confirmando que 800 está incompatível com os dados.

Resposta

a) \text{IC de }95\%: [690{,}2;\;709{,}8] horas.
b) \,800 não pertence ao intervalo; há evidência forte (nível 5\%) de que a média real é menor que \,800 horas, ou seja, os dados indicam que o fornecedor não cumpre a exigência contratual.

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