Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de habitantes de uma determinada cidade que atendem a um determinado perfil alvo de uma política social. Tomamos uma amostra de 300 pessoas e identificamos que 100 dessas pessoas têm o perfil alvo da política social. Determine um intervalo de
de confiança para a proporção de pessoas na cidade que têm o tal perfil.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos uma amostra de
pessoas, das quais
têm o perfil alvo. A tarefa é determinar um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira
de habitantes da cidade que têm esse perfil. Informações relevantes:
,
. Pergunta: encontrar um intervalo de confiança de
para
.
Passo 2
Definir a estimativa pontual e verificar condições básicas: a estimativa pontual da proporção é a proporção amostral
Em número decimal isso é
. Para usar a aproximação normal (fórmula usual de intervalo para proporção) devemos checar que
e
são suficientemente grandes (regra prática:
). Aqui:
ambos maiores que
, portanto a aproximação normal é apropriada.
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
Explicando cada termo:
-
é a proporção amostral (estimativa pontual); -
é o complemento da confiança, aqui ; -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (valor crítico); -
é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral).
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
de confiança. Como
, temos
. O quantil da normal padrão com área de
à direita (ou
à esquerda) é aproximadamente
Esse valor vem da tabela da normal padrão (ou calculadora estatística).
Passo 5
Calcular o erro padrão da proporção. Primeiro calcule
:
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
Passo 6
Calcular a margem de erro multiplicando o erro padrão por
:
Agora os extremos do intervalo:
Arredondando para três casas decimais:
.
Passo 7
Interpretação prática (útil na prova): o intervalo de confiança de
significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um IC igual, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção
. Aqui concluímos que com
de confiança a proporção de habitantes com o perfil alvo está aproximadamente entre
e
. Força aí — esse tipo de cálculo é bem pedido em prova e agora você tem passo a passo para reproduzir.