Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de habitantes de uma determinada cidade que atendem a um determinado perfil alvo de uma política social. Tomamos uma amostra de 300 pessoas e identificamos que 100 dessas pessoas têm o perfil alvo da política social. Determine um intervalo de 98 \% de confiança para a proporção de pessoas na cidade que têm o tal perfil.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos uma amostra de n=300 pessoas, das quais x=100 têm o perfil alvo. A tarefa é determinar um intervalo de confiança de 98\% para a proporção verdadeira p de habitantes da cidade que têm esse perfil. Informações relevantes: n=300, x=100. Pergunta: encontrar um intervalo de confiança de 98\% para p.

Passo 2

Definir a estimativa pontual e verificar condições básicas: a estimativa pontual da proporção é a proporção amostral
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}.
Em número decimal isso é \hat{p}=0,333\ldots. Para usar a aproximação normal (fórmula usual de intervalo para proporção) devemos checar que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) são suficientemente grandes (regra prática: \ge 5). Aqui:
n\hat{p}=300\cdot\frac{1}{3}=100\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=300\cdot\frac{2}{3}=200,
ambos maiores que 5, portanto a aproximação normal é apropriada.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
\text{IC}=\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando cada termo:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimativa pontual);
  • \alpha é o complemento da confiança, aqui \alpha=1-0{,}98=0{,}02;
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (valor crítico);
  • \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral).

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 98\% de confiança. Como \alpha=0{,}02, temos \alpha/2=0{,}01. O quantil da normal padrão com área de 0{,}01 à direita (ou 0{,}99 à esquerda) é aproximadamente
z_{0{,}01}\approx 2{,}3263.
Esse valor vem da tabela da normal padrão (ou calculadora estatística).

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção. Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\approx 0{,}2222.
Dividindo por n:
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{2/9}{300}=\frac{2}{2700}=\frac{1}{1350}\approx 0{,}0007407407.
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{1}{1350}}\approx 0{,}027229.

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando o erro padrão por z_{0{,}01}:
\text{margem}=z_{0{,}01}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx 2{,}3263\cdot 0{,}027229\approx 0{,}06335.
Agora os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{margem}\approx 0{,}33333-0{,}06335\approx 0{,}26998,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{margem}\approx 0{,}33333+0{,}06335\approx 0{,}39668.
Arredondando para três casas decimais: [0{,}270,\;0{,}397].

Passo 7

Interpretação prática (útil na prova): o intervalo de confiança de 98\% significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um IC igual, cerca de 98\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção p. Aqui concluímos que com 98\% de confiança a proporção de habitantes com o perfil alvo está aproximadamente entre 27{,}0\% e 39{,}7\%. Força aí — esse tipo de cálculo é bem pedido em prova e agora você tem passo a passo para reproduzir.

Resposta

\left[0{,}270;\;0{,}397\right]

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