Uma empresa opera com a seguinte função de produção:
Q=10 l^{0,5}+k^{0,5}
Onde Q é a quantidade do produto, K é a quantidade do insumo capital e L a quantidade do insumo mão de obra. O preço do capital é de \ 1 unidade monetária e o preço da mão de obra éáçãé$4 . Para a produção de 80 unidades de produto, as quantidades de capital e trabalho que minimizam os custos são \{çãã____ a____ \} unidades de capital e \{____ b____$ } unidade de trabalho.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e pede as quantidades de capital e trabalho que minimizam o custo para produzir 80 unidades. Dados e perguntas claramente extraídos do enunciado:
  • Função de produção (peguei do enunciado): Q = 10\,L^{0,5} + K^{0,5}.
  • Preço do capital (peguei do enunciado): r = 1 \text{ (unidade monetária por unidade de capital).}á
  • Preço do trabalho (peguei do enunciado): w = 4 \text{ (unidade monetária por unidade de trabalho).}á
  • Nível de produção exigido (peguei do enunciado): Q = 80.
O que o exercício pede:
  • A quantidade de capital K que minimiza o custo, dado o nível Q=80.
  • A quantidade de trabalho L que minimiza o custo, dado o nível Q=80.

Passo 2

Vamos formular o problema de minimização de custo. O custo total é o preço do capital vezes a quantidade de capital mais o preço do trabalho vezes a quantidade de trabalho. Então a função custo é
C(K,L)=rK+wL=1\cdot K+4\cdot L=K+4L.
Queremos minimizar C(K,L) sujeito à restrição de produção
10\,L^{0,5}+K^{0,5}=80.
Uma maneira prática (e ensinável para prova) é usar a condição de otimização que iguala a “produto marginal por dólar” entre os insumos: igualar \dfrac{MP_L}{w}=\dfrac{MP_K}{r}. Vou explicar o que são esses termos antes de aplicar.

Passo 3

O que é produto marginal e por que igualar por dólar?
  • Produto marginal de um insumo é a derivada da produção em relação a esse insumo, isto é quanto a produção aumenta se eu aumentar um pouquinho aquele insumo.
  • Produto marginal por dólar é o produto marginal dividido pelo preço do insumo; igualar esses valores entre insumos é a condição de custo mínimo quando ambos os insumos são empregados positivamente: se um insumo desse mais produto por dólar, convém gastar mais nele até que a igualdade seja atingida.
Vamos calcular os produtos marginais a partir da função de produção \;Q=10L^{0,5}+K^{0,5}.
Derivando em relação a L:
MP_L=\frac{\partial Q}{\partial L}=10\cdot 0{,}5\;L^{-0{,}5}=5\,L^{-0{,}5}=\frac{5}{\sqrt{L}}.
Derivando em relação a K:
MP_K=\frac{\partial Q}{\partial K}=0{,}5\;K^{-0{,}5}=\frac{1}{2\sqrt{K}}.

Passo 4

Aplicamos a condição de interior (ambos insumos usados): \dfrac{MP_L}{w}=\dfrac{MP_K}{r}. Substituindo MP_L, MP_K, w=4 e r=1:
\frac{5/\sqrt{L}}{4}=\frac{(1/(2\sqrt{K}))}{1}.
Simplifico passo a passo:
\frac{5}{4\sqrt{L}}=\frac{1}{2\sqrt{K}}.
Multiplico ambos os lados por 4\sqrt{L}\cdot 2\sqrt{K} para evitar frações:
5\cdot 2\sqrt{K}=4\cdot 1\sqrt{L}.
Isso é
10\sqrt{K}=4\sqrt{L}.
Dividindo por 10:
\sqrt{K}=\frac{4}{10}\sqrt{L}=0{,}4\sqrt{L}.
Elevando ao quadrado para obter a relação entre K e L:
K=(0{,}4)^2 L=0{,}16\,L.

Passo 5

Agora uso a restrição de produção \;10\sqrt{L}+\sqrt{K}=80 substituindo \sqrt{K}=0{,}4\sqrt{L} (peguei essa relação do passo anterior):
10\sqrt{L}+0{,}4\sqrt{L}=80.
Somando os coeficientes:
10{,}4\sqrt{L}=80.
Logo
\sqrt{L}=\frac{80}{10{,}4}.
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por 10:
\sqrt{L}=\frac{800}{104}=\frac{100}{13}.
Agora elevo ao quadrado para encontrar L:
L=\left(\frac{100}{13}\right)^2=\frac{10000}{169}.
Se quiser aproximação decimal (útil na prova para verificar): \dfrac{10000}{169}\approx 59{,}172.

Passo 6

Encontro K usando a relação K=0{,}16\,L (do passo 4). Substituo L=\dfrac{10000}{169}:
K=0{,}16\cdot \frac{10000}{169}=\frac{1600}{169}.
Aproximação decimal: \dfrac{1600}{169}\approx 9{,}467.
Também é consistente com \sqrt{K}=0{,}4\sqrt{L}=\dfrac{40}{13} e então K=(40/13)^2=1600/169.

Passo 7

Verificação rápida e comparação com soluções de canto (para garantir que é mesmo o mínimo global):
  1. Verifico a condição de otimização: calculemos os produtos marginais nos valores encontrados.
MP_L=\frac{5}{\sqrt{L}}= \frac{5}{100/13}=\frac{65}{100}=0{,}65.
MP_K=\frac{1}{2\sqrt{K}}=\frac{1}{2\cdot (40/13)}=\frac{13}{80}=0{,}1625.
Produtos marginais por dólar:
\frac{MP_L}{w}=\frac{0{,}65}{4}=0{,}1625,\qquad \frac{MP_K}{r}=0{,}1625.
Estão iguais, então a condição de interior está satisfeita.
  1. Comparação com solução de canto “usar só trabalho” ( K=0): a produção seria 10\sqrt{L}=80\Rightarrow \sqrt{L}=8\Rightarrow L=64. Custo seria C=K+4L=0+4\cdot 64=256.
Custo da solução interior encontrada:
C=K+4L\approx 9{,}467 + 4\cdot 59{,}172 \approx 9{,}467 + 236{,}688 \approx 246{,}155.
Como 246{,}155<256, a solução interior é melhor que usar apenas trabalho. Usar apenas capital seria ainda mais caro. Então nossa solução interior é o mínimo global viável.

Passo 8

Resumo dos valores exatos e aproximados (peguei os exatos dos passos anteriores e apresentei aproximações para conferência):
  • L=\dfrac{10000}{169}\approx 59{,}172 unidades de trabalho.
  • K=\dfrac{1600}{169}\approx 9{,}467 unidades de capital.

Resposta

K=\dfrac{1600}{169}\approx 9{,}467 unidades de capital
L=\dfrac{10000}{169}\approx 59{,}172 unidades de trabalho

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