Uma empresa opera com a seguinte função de produção:
Onde
é a quantidade do produto,
é a quantidade do insumo capital e
a quantidade do insumo mão de obra. O preço do capital é de
1
$4
____
____
____
____$ } unidade de trabalho.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e pede as quantidades de capital e trabalho que minimizam o custo para produzir 80 unidades. Dados e perguntas claramente extraídos do enunciado:
- Função de produção (peguei do enunciado):
- Preço do capital (peguei do enunciado):
- Preço do trabalho (peguei do enunciado):
- Nível de produção exigido (peguei do enunciado):
O que o exercício pede:
- A quantidade de capital
que minimiza o custo, dado o nível . - A quantidade de trabalho
que minimiza o custo, dado o nível .
Passo 2
Vamos formular o problema de minimização de custo. O custo total é o preço do capital vezes a quantidade de capital mais o preço do trabalho vezes a quantidade de trabalho. Então a função custo é
Queremos minimizar
sujeito à restrição de produção
Uma maneira prática (e ensinável para prova) é usar a condição de otimização que iguala a “produto marginal por dólar” entre os insumos: igualar
. Vou explicar o que são esses termos antes de aplicar.
Passo 3
O que é produto marginal e por que igualar por dólar?
- Produto marginal de um insumo é a derivada da produção em relação a esse insumo, isto é quanto a produção aumenta se eu aumentar um pouquinho aquele insumo.
- Produto marginal por dólar é o produto marginal dividido pelo preço do insumo; igualar esses valores entre insumos é a condição de custo mínimo quando ambos os insumos são empregados positivamente: se um insumo desse mais produto por dólar, convém gastar mais nele até que a igualdade seja atingida.
Vamos calcular os produtos marginais a partir da função de produção
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Aplicamos a condição de interior (ambos insumos usados):
. Substituindo
,
,
e
:
Simplifico passo a passo:
Multiplico ambos os lados por
para evitar frações:
Isso é
Dividindo por 10:
Elevando ao quadrado para obter a relação entre
e
:
Passo 5
Agora uso a restrição de produção
substituindo
(peguei essa relação do passo anterior):
Somando os coeficientes:
Logo
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por 10:
Agora elevo ao quadrado para encontrar
:
Se quiser aproximação decimal (útil na prova para verificar):
.
Passo 6
Encontro
usando a relação
(do passo 4). Substituo
:
Aproximação decimal:
.
Também é consistente com
e então
.
Passo 7
Verificação rápida e comparação com soluções de canto (para garantir que é mesmo o mínimo global):
- Verifico a condição de otimização: calculemos os produtos marginais nos valores encontrados.
Produtos marginais por dólar:
Estão iguais, então a condição de interior está satisfeita.
- Comparação com solução de canto “usar só trabalho” (
): a produção seria . Custo seria .
Custo da solução interior encontrada:
Como
, a solução interior é melhor que usar apenas trabalho. Usar apenas capital seria ainda mais caro. Então nossa solução interior é o mínimo global viável.
Passo 8
Resumo dos valores exatos e aproximados (peguei os exatos dos passos anteriores e apresentei aproximações para conferência):
-
unidades de trabalho. -
unidades de capital.