Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva y=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} \ln x, 1 \leq x \leq 4, em torno do eixo x. (SEM O USO DE TABELA DE INTEGRAIS)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x,\qquad 1\le x\le 4,
em torno do eixo x. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
y(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x,
o intervalo de integração é [1,4] e o eixo de rotação é o eixo x.
Também é útil observar os valores da função nas extremidades (apenas para garantir que a fórmula padrão se aplica):
y(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{4},
y(4)=\frac{1}{4}\cdot 4^{2}-\frac{1}{2}\ln 4=4-\frac{1}{2}\ln 4,
ambos são positivos, então podemos usar a fórmula usual da área de superfície de revolução sem preocupação com sinais.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (expliquei do que ela é formada): a área da superfície obtida ao girar a curva y=y(x), com y(x)\ge 0, em torno do eixo x de x=a até x=b é
S=2\pi\int_{a}^{b} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicação das variáveis:
  • y(x) é a altura da curva em cada x;
  • y'(x) é a derivada de y em relação a x, que informa a inclinação da curva;
  • o fator \sqrt{1+(y')^{2}} aparece porque a pequena arca diferencial tem comprimento \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx; multiplicando isso pela circunferência 2\pi y obtemos a área de uma fita elementar, e integrar soma todas as fitas.

Passo 3

Calcular a derivada \,y'(x) passo a passo:
y(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x.
Derivando termo a termo (regra: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} e \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}):
y'(x)=\frac{1}{4}\cdot 2x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Bigl(x-\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 4

Agora calculamos 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}. Primeiro elevamos y' ao quadrado:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{1}{4}\Bigl(x-\frac{1}{x}\Bigr)^{2}=\frac{1}{4}\Bigl(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Somando 1:
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=1+\frac{1}{4}\Bigl(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Agora junte termos constantes: 1-\frac{2}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. Reescrevendo:
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x^{-2}=\frac{1}{4}\Bigl(x^{2}+2+x^{-2}\Bigr).
Repare que x^{2}+2+x^{-2}=(x+\tfrac{1}{x})^{2}. Portanto
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{1}{4}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Tirando raiz quadrada (sempre positiva aqui, porque a expressão sob a raiz é positiva e x+\tfrac{1}{x}>0 para x>0):
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}}=\frac{1}{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr).
Explicação: a raiz de um quadrado é o valor absoluto, mas como x\in[1,4] temos x+\tfrac{1}{x}>0, então não precisamos do valor absoluto.

Passo 6

Substituímos na fórmula da área:
S=2\pi\int_{1}^{4} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx =2\pi\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x\Bigr)\cdot\frac{1}{2}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
Simplificando o fator 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi:
S=\pi\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x\Bigr)\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 7

Expandimos o integrando para separar em termos mais simples:
\Bigl(\frac{1}{4}x^{2}\Bigr)\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)=\frac{1}{4}\bigl(x^{3}+x\bigr),
\Bigl(-\frac{1}{2}\ln x\Bigr)\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{2}\bigl(x\ln x+\tfrac{1}{x}\ln x\bigr).
Logo o integrando é
\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}x\ln x-\frac{1}{2}\frac{\ln x}{x}.
Portanto
S=\pi\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}x\ln x-\frac{1}{2}\frac{\ln x}{x}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Para os termos polinomiais usamos a regra \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}. Para os termos com \ln x usamos integração por partes.
Integrais individuais:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{4}x^{3}\,dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{16}.
  2. \displaystyle \int \frac{1}{4}x\,dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{8}.
  3. Para \displaystyle \int \frac{1}{2}x\ln x\,dx usamos integração por partes.
    Escolhemos u=\ln x (assim du=\frac{1}{x}dx) e dv=\frac{1}{2}x\,dx (assim v=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}).
    Aplicando integração por partes \int u\,dv=uv-\int v\,du:
\int \frac{1}{2}x\ln x\,dx=\frac{x^{2}}{4}\ln x-\int \frac{x^{2}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{2}}{4}\ln x-\int \frac{x}{4}\,dx =\frac{x^{2}}{4}\ln x-\frac{x^{2}}{8}.
Portanto, com o sinal negativo do integrando:
\int -\frac{1}{2}x\ln x\,dx=-\frac{x^{2}}{4}\ln x+\frac{x^{2}}{8}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{2}\frac{\ln x}{x}\,dx usamos substituição simples ou reconhecemos que \int \frac{\ln x}{x}\,dx=\tfrac{1}{2}(\ln x)^{2}. Mais formal: tomar t=\ln x então dt=\frac{1}{x}dx e \int \frac{\ln x}{x}\,dx=\int t\,dt=\tfrac{1}{2}t^{2}=\tfrac{1}{2}(\ln x)^{2}. Como nosso integrando tem coeficiente -\tfrac{1}{2}, obtemos
\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln x}{x}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(\ln x)^{2}=-\frac{1}{4}(\ln x)^{2}.

Passo 8

Somando todas as antiderivadas (primitivas) obtidas, uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=\frac{x^{4}}{16}+\frac{x^{2}}{8}-\frac{x^{2}}{4}\ln x+\frac{x^{2}}{8}-\frac{1}{4}(\ln x)^{2}.
Juntando os dois termos \frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{2}}{8}=\frac{x^{2}}{4}, simplificamos para
F(x)=\frac{x^{4}}{16}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}\ln x-\frac{1}{4}(\ln x)^{2}.
Portanto a área é
S=\pi\bigl[F(x)\bigr]_{1}^{4} =\pi\Bigl(F(4)-F(1)\Bigr).

Passo 9

Calcule F(4) e F(1) separadamente.
Para x=4:
\frac{4^{4}}{16}=\frac{256}{16}=16,\qquad \frac{4^{2}}{4}=\frac{16}{4}=4,
\frac{4^{2}}{4}\ln 4=4\ln 4,\qquad \frac{1}{4}(\ln 4)^{2}=\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}.
Logo
F(4)=16+4-4\ln 4-\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}=20-4\ln 4-\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}.
Para x=1:
\frac{1^{4}}{16}=\frac{1}{16},\qquad \frac{1^{2}}{4}=\frac{1}{4},\qquad \ln 1=0,
portanto
F(1)=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}=\frac{1+4}{16}=\frac{5}{16}.
Subtraindo:
F(4)-F(1)=\Bigl(20-4\ln 4-\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}\Bigr)-\frac{5}{16} = \frac{315}{16}-4\ln 4-\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}.
Podemos simplificar usando \ln 4=2\ln 2. Então
4\ln 4=4\cdot 2\ln 2=8\ln 2,
\frac{1}{4}(\ln 4)^{2}=\frac{1}{4}\cdot 4(\ln 2)^{2}=(\ln 2)^{2}.
Assim uma forma limpa da resposta é
S=\pi\Bigl(\frac{315}{16}-8\ln 2-(\ln 2)^{2}\Bigr).

Resposta

S=\pi\Bigl(\frac{315}{16}-8\ln 2-(\ln 2)^{2}\Bigr)

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