Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
, em torno do eixo
. (SEM O USO DE TABELA DE INTEGRAIS)
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
o intervalo de integração é
e o eixo de rotação é o eixo
.
Também é útil observar os valores da função nas extremidades (apenas para garantir que a fórmula padrão se aplica):
Também é útil observar os valores da função nas extremidades (apenas para garantir que a fórmula padrão se aplica):
ambos são positivos, então podemos usar a fórmula usual da área de superfície de revolução sem preocupação com sinais.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (expliquei do que ela é formada): a área da superfície obtida ao girar a curva
, com
, em torno do eixo
de
até
é
Explicação das variáveis:
-
é a altura da curva em cada ; -
é a derivada de em relação a , que informa a inclinação da curva; - o fator
aparece porque a pequena arca diferencial tem comprimento ; multiplicando isso pela circunferência obtemos a área de uma fita elementar, e integrar soma todas as fitas.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo:
Derivando termo a termo (regra:
e
):
Passo 4
Agora calculamos
. Primeiro elevamos
ao quadrado:
Somando
:
Agora junte termos constantes:
. Reescrevendo:
Repare que
. Portanto
Passo 5
Tirando raiz quadrada (sempre positiva aqui, porque a expressão sob a raiz é positiva e
para
):
Explicação: a raiz de um quadrado é o valor absoluto, mas como
temos
, então não precisamos do valor absoluto.
Passo 6
Substituímos na fórmula da área:
Simplificando o fator
:
Passo 7
Expandimos o integrando para separar em termos mais simples:
Logo o integrando é
Portanto
Agora integramos termo a termo. Para os termos polinomiais usamos a regra
. Para os termos com
usamos integração por partes.
Integrais individuais:
-
-
-
Para
usamos integração por partes.
Escolhemos(assim ) e (assim ).
Aplicando integração por partes:
Portanto, com o sinal negativo do integrando:
- Para
usamos substituição simples ou reconhecemos que . Mais formal: tomar então e . Como nosso integrando tem coeficiente , obtemos
Passo 8
Somando todas as antiderivadas (primitivas) obtidas, uma primitiva
do integrando é
Juntando os dois termos
, simplificamos para
Portanto a área é
Passo 9
Calcule
e
separadamente.
Para
:
Logo
Para
:
portanto
Subtraindo:
Podemos simplificar usando
. Então
Assim uma forma limpa da resposta é