Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(D^{2}+4 D+4\right) y(t)=(D+1) x(t)
se y\left(0^{-}\right)=2, \dot{y}\left(0^{-}\right)=1 e x(t)=e^{-t} u(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear usando transformada de Laplace:
\left(D^{2}+4 D+4\right) y(t)=(D+1) x(t)
com condições iniciais \;y\left(0^{-}\right)=2,\;\dot{y}\left(0^{-}\right)=1\; e entrada \;x(t)=e^{-t}u(t).
Informações dadas e o que nos pedem:
  • Equação diferencial com o operador D=\dfrac{d}{dt}: a equação é \;y''(t)+4y'(t)+4y(t) = x'(t)+x(t).
  • Condições iniciais: \;y(0^-)=2 e \;y'(0^-)=1.
  • Sinal de entrada: \;x(t)=e^{-t}u(t) (função exponencial multiplicada pela função degrau unitário).
  • Objetivo: encontrar y(t) para t\ge 0 usando transformada de Laplace.

Passo 2

Relembrando e justificando as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A transformada unilateral de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Transformada das derivadas (fórmulas essenciais para resolver EDs sem integrar no tempo): \mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0^-),
\mathcal{L}\{f''(t)\}(s)=s^{2}F(s)-s f(0^-)-f'(0^-),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) e f(0^-), f'(0^-) são os valores iniciais à esquerda de zero (essas fórmulas tratam corretamente de possíveis impulsos em t=0).
  • Transformadas úteis: \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}(s)=\frac{1}{s+a},
\mathcal{L}\{\delta(t)\}(s)=1.
Essas fórmulas permitem transformar a ED em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 3

Transformamos ambos os lados da equação em s. Definimos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s).
Primeiro calculemos X(s). Como x(t)=e^{-t}u(t),
X(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Agora a transformada do lado direito (D+1)x(t)=x'(t)+x(t).
Usando as fórmulas:
\mathcal{L}\{x'(t)+x(t)\}(s)=\mathcal{L}\{x'\}(s)+\mathcal{L}\{x\}(s)=(sX(s)-x(0^-))+X(s).
Como x(0^-)=0 (antes de t=0 a função é zero por causa do u(t)), temos
\mathcal{L}\{(D+1)x(t)\}(s)=(s+1)X(s).
Substituindo X(s)=\dfrac{1}{s+1} obtemos
\mathcal{L}\{(D+1)x(t)\}(s)=(s+1)\cdot\frac{1}{s+1}=1.
Observação intuitiva: no tempo, para t>0 temos x'(t)+x(t)=0, mas existe um termo impulsivo em t=0 que gera transformada igual a 1 (ou seja, um \delta(t)). A transformada capturou esse efeito.

Passo 4

Agora transformamos o lado esquerdo (D^{2}+4 D+4) y(t).
Usando as fórmulas:
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0^-)-y'(0^-),
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=s Y(s)-y(0^-),
e \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
Logo,
\mathcal{L}\{(D^{2}+4D+4)y(t)\}(s) = (s^{2}Y - s y(0^-)-y'(0^-)) + 4(sY - y(0^-)) + 4Y.
Agrupando os termos em Y e os termos com valores iniciais:
= (s^{2}+4s+4)Y(s) \;-\; s y(0^-)-y'(0^-) \;-\;4 y(0^-).
Substituímos y(0^-)=2 e y'(0^-)=1:
(s^{2}+4s+4)Y(s) - \big( s\cdot 2 + 1 + 4\cdot 2 \big) = (s^{2}+4s+4)Y(s) - (2s + 1 + 8).
= (s^{2}+4s+4)Y(s) - (2s+9).

Passo 5

Igualamos as transformadas LHS = RHS (já calculada como 1):
(s^{2}+4s+4)Y(s) - (2s+9) = 1.
Isolamos Y(s):
(s^{2}+4s+4)Y(s) = 1 + 2s + 9 = 2s + 10.
Note que s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}. Então
Y(s)=\frac{2s+10}{(s+2)^{2}} = 2\cdot\frac{s+5}{(s+2)^{2}}.

Passo 6

Faremos agora a decomposição para aplicar a transformada inversa. Reescrevemos o numerador:
s+5 = (s+2) + 3.
Assim
\frac{s+5}{(s+2)^{2}} = \frac{s+2}{(s+2)^{2}} + \frac{3}{(s+2)^{2}} = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)^{2}}.
Multiplicando por 2,
Y(s) = 2\left(\frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)^{2}}\right) = \frac{2}{s+2} + \frac{6}{(s+2)^{2}}.
Agora aplicamos a transformada inversa conhecida:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t}u(t).
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}(t)=t e^{-a t}u(t).
Portanto,
y(t)=2 e^{-2t} + 6 t e^{-2t},\qquad t\ge 0.
Podemos fatorar e^{-2t}:
y(t)=(2+6t)e^{-2t}u(t).

Passo 7

Breve interpretação e checagem:
  • A solução encontrada é válida para t\ge 0 e inclui u(t) implicitamente (transformada unilateral). Em t=0^- a função é 0; em t=0^+ temos y(0^+)=2 (coerente com a condição y(0^-)=2 e continuidade do y).
  • Observação física: a entrada produz um impulso em t=0 (como vimos), por isso a derivada de y pode sofrer salto em t=0; isso é esperado e não contradiz o uso das condições iniciais no procedimento com Laplace.

Resposta

\;y(t)=(2+6t)e^{-2t}u(t)

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