Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
se
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear usando transformada de Laplace:
com condições iniciais
e entrada
.
Informações dadas e o que nos pedem:
- Equação diferencial com o operador
: a equação é - Condições iniciais:
e - Sinal de entrada:
(função exponencial multiplicada pela função degrau unitário). - Objetivo: encontrar
para usando transformada de Laplace.
Passo 2
Relembrando e justificando as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- A transformada unilateral de Laplace de uma função
é . - Transformada das derivadas (fórmulas essenciais para resolver EDs sem integrar no tempo):
onde
e
são os valores iniciais à esquerda de zero (essas fórmulas tratam corretamente de possíveis impulsos em
).
- Transformadas úteis:
Essas fórmulas permitem transformar a ED em uma equação algébrica em
, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 3
Transformamos ambos os lados da equação em
. Definimos
e
.
Primeiro calculemos
. Como
,
Agora a transformada do lado direito
.
Usando as fórmulas:
Usando as fórmulas:
Como
(antes de
a função é zero por causa do
), temos
Substituindo
obtemos
Observação intuitiva: no tempo, para
temos
, mas existe um termo impulsivo em
que gera transformada igual a
(ou seja, um
). A transformada capturou esse efeito.
Passo 4
Agora transformamos o lado esquerdo
.
Usando as fórmulas:
e
.
Logo,
Agrupando os termos em
e os termos com valores iniciais:
Substituímos
e
:
Passo 5
Igualamos as transformadas LHS = RHS (já calculada como
):
Isolamos
:
Note que
. Então
Passo 6
Faremos agora a decomposição para aplicar a transformada inversa. Reescrevemos o numerador:
Assim
Multiplicando por
,
Agora aplicamos a transformada inversa conhecida:
-
. -
.
Portanto,
Podemos fatorar
:
Passo 7
Breve interpretação e checagem:
- A solução encontrada é válida para
e inclui implicitamente (transformada unilateral). Em a função é 0; em temos (coerente com a condição e continuidade do ). - Observação física: a entrada produz um impulso em
(como vimos), por isso a derivada de pode sofrer salto em ; isso é esperado e não contradiz o uso das condições iniciais no procedimento com Laplace.