Em uma urna há oito bolas numeradas. Qual a probabilidade de serem retiradas em ordem crescente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar os números que aparecem no enunciado):
- Há
bolas numeradas numa urna. - As bolas serão retiradas (uma a uma) até esvaziar a urna, sem reposição.
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que as bolas sejam retiradas em ordem estritamente crescente (ou seja, da menor para a maior, por exemplo
).
Passo 2
Vamos pensar no espaço amostral: cada sequência possível de retirada é uma permutação das
bolas. Como as bolas são distintas (têm números diferentes) e cada ordem de retirada é igualmente provável, o número total de resultados possíveis é o número de permutações de
objetos, isto é
.
Explicando o que é o fatorial (para você lembrar na prova): o fatorial de
, escrito
, é o produto de todos os inteiros positivos de
até
. Em particular,
Agora calculando passo a passo (para você ver sem calculadora):
-
, -
, -
, -
, -
, -
, -
.
Logo, o número total de ordens possíveis é
.
Passo 3
Agora contamos os casos favoráveis (as retiradas em ordem crescente). Para que a sequência inteira seja estritamente crescente, os números têm de aparecer na ordem
. Como todas as bolas têm números distintos, existe exatamente uma sequência que é estritamente crescente: a sequência ordenada do menor para o maior.
Portanto, o número de casos favoráveis é
.
Passo 4
A probabilidade é sempre dada por
Substituindo os valores que achamos:
Passo 5
Uma forma alternativa (muito útil para a prova) que chega ao mesmo resultado é raciocinar passo a passo durante as retiradas:
- A probabilidade de que a primeira bola seja a menor (entre as
) é . - Dado que a menor saiu primeiro, a probabilidade de que a segunda seja a menor das
restantes é . - Continuando assim, as probabilidades condicionais multiplicam e obtemos
mesma resposta. Esse raciocínio condicional é prático quando não se lembra diretamente do argumento de permutações.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a probabilidade de retirar as
bolas em ordem crescente é muito pequena — apenas uma entre
possíveis ordens. Isso faz sentido intuitivamente: há muitas ordens possíveis e só uma delas está perfeitamente ordenada. Você está indo bem — esse tipo de problema costuma cair na prova para testar se você entende permutações e probabilidades com eventos igualmente prováveis.