Em uma urna há oito bolas numeradas. Qual a probabilidade de serem retiradas em ordem crescente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar os números que aparecem no enunciado):
  • 8 bolas numeradas numa urna.
  • As bolas serão retiradas (uma a uma) até esvaziar a urna, sem reposição.
O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que as bolas sejam retiradas em ordem estritamente crescente (ou seja, da menor para a maior, por exemplo 1,2,3,\ldots,8).

Passo 2

Vamos pensar no espaço amostral: cada sequência possível de retirada é uma permutação das 8 bolas. Como as bolas são distintas (têm números diferentes) e cada ordem de retirada é igualmente provável, o número total de resultados possíveis é o número de permutações de 8 objetos, isto é 8!.
Explicando o que é o fatorial (para você lembrar na prova): o fatorial de n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. Em particular,
8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Agora calculando passo a passo (para você ver sem calculadora):
  • 8\cdot7 = 56,
  • 56\cdot6 = 336,
  • 336\cdot5 = 1680,
  • 1680\cdot4 = 6720,
  • 6720\cdot3 = 20160,
  • 20160\cdot2 = 40320,
  • 40320\cdot1 = 40320.
Logo, o número total de ordens possíveis é 8! = 40320.

Passo 3

Agora contamos os casos favoráveis (as retiradas em ordem crescente). Para que a sequência inteira seja estritamente crescente, os números têm de aparecer na ordem 1,2,3,\ldots,8. Como todas as bolas têm números distintos, existe exatamente uma sequência que é estritamente crescente: a sequência ordenada do menor para o maior.
Portanto, o número de casos favoráveis é 1.

Passo 4

A probabilidade é sempre dada por
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Substituindo os valores que achamos:
\text{probabilidade}=\frac{1}{8!}=\frac{1}{40320}.

Passo 5

Uma forma alternativa (muito útil para a prova) que chega ao mesmo resultado é raciocinar passo a passo durante as retiradas:
  • A probabilidade de que a primeira bola seja a menor (entre as 8) é \tfrac{1}{8}.
  • Dado que a menor saiu primeiro, a probabilidade de que a segunda seja a menor das 7 restantes é \tfrac{1}{7}.
  • Continuando assim, as probabilidades condicionais multiplicam e obtemos
\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{8!},
mesma resposta. Esse raciocínio condicional é prático quando não se lembra diretamente do argumento de permutações.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a probabilidade de retirar as 8 bolas em ordem crescente é muito pequena — apenas uma entre 40320 possíveis ordens. Isso faz sentido intuitivamente: há muitas ordens possíveis e só uma delas está perfeitamente ordenada. Você está indo bem — esse tipo de problema costuma cair na prova para testar se você entende permutações e probabilidades com eventos igualmente prováveis.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8!}=\frac{1}{40320}\approx0,0000248016

Exercícios relacionados