O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{x^{2}-4}{3+x y} é

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{x^{2}-4}{3+xy}.
Informações dadas:
  • A função é F(x,y)=\dfrac{x^{2}-4}{3+xy}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(2,0).
  • Devemos encontrar um único número (o limite) quando (x,y) se aproxima de (2,0).

Passo 2

Vamos identificar os valores das expressões envolvidas no ponto de interesse sem ainda concluir o limite. Primeiro observe a expressão do numerador e do denominador:
\text{numerador} = x^{2}-4,\qquad \text{denominador} = 3+xy.
É útil verificar os valores dessas expressões exatamente em (2,0):
x^{2}-4\big|_{(2,0)} = 2^{2}-4,\qquad 3+xy\big|_{(2,0)} = 3+2\cdot 0.
Vou calcular ambos nos passos seguintes.

Passo 3

Calcule o numerador em (2,0):
2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Explicação didática: x^{2}-4 é um polinômio em x. Polinômios são funções contínuas: se (x,y)\to(2,0), a parte que depende só de x também tende ao seu valor em x=2. Logo o numerador tende a 0.

Passo 4

Calcule o denominador em (2,0):
3+2\cdot 0 = 3.
Explicação didática: 3+xy é produto/soma de funções contínuas ( x e y são contínuos), então também é contínuo. O valor no ponto é 3, que é diferente de zero. Isso é crucial: quando o denominador tende a um número não nulo, podemos usar a regra do quociente.

Passo 5

Regra do quociente (explicada de forma simples): se g(x,y) e h(x,y) têm limites finitos quando (x,y)\to(a,b) e \lim h(x,y)\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{g(x,y)}{h(x,y)}=\frac{\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)}{\lim_{(x,y)\to(a,b)}h(x,y)}.
Aqui, g(x,y)=x^{2}-4 e h(x,y)=3+xy. Já vimos que
\lim_{(x,y)\to(2,0)} g(x,y)=0\quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(2,0)} h(x,y)=3\neq 0.
Portanto podemos aplicar a regra do quociente.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente obtemos
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{x^{2}-4}{3+xy} = \frac{0}{3} = 0.
Interpretação prática: o numerador fica pequeno (tende a zero) enquanto o denominador tende a um número fixo e afastado de zero, então o quociente tende a zero.

Passo 7

(Uma verificação alternativa, mais “técnica”): escreva x^{2}-4=(x-2)(x+2). Quando (x,y)\to(2,0) temos x-2\to 0 e x+2\to 4, assim o numerador tende a 0\cdot 4=0. O denominador tende a 3, logo o quociente tende a 0/3=0. Isso reforça a conclusão anterior.

Resposta

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