O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{x^{2}-4}{3+x y} é
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{x^{2}-4}{3+xy}.
Informações dadas:
A função é F(x,y)=\dfrac{x^{2}-4}{3+xy}.
O ponto de aproximação é (x,y)\to(2,0).
Devemos encontrar um único número (o limite) quando (x,y) se aproxima de (2,0).
Passo 2
Vamos identificar os valores das expressões envolvidas no ponto de interesse sem ainda concluir o limite. Primeiro observe a expressão do numerador e do denominador:
Explicação didática: x^{2}-4 é um polinômio em x. Polinômios são funções contínuas: se (x,y)\to(2,0), a parte que depende só de x também tende ao seu valor em x=2. Logo o numerador tende a 0.
Passo 4
Calcule o denominador em (2,0):
3+2\cdot 0 = 3.
Explicação didática: 3+xy é produto/soma de funções contínuas (x e y são contínuos), então também é contínuo. O valor no ponto é 3, que é diferente de zero. Isso é crucial: quando o denominador tende a um número não nulo, podemos usar a regra do quociente.
Passo 5
Regra do quociente (explicada de forma simples): se g(x,y) e h(x,y) têm limites finitos quando (x,y)\to(a,b) e \lim h(x,y)\neq 0, então
Interpretação prática: o numerador fica pequeno (tende a zero) enquanto o denominador tende a um número fixo e afastado de zero, então o quociente tende a zero.
Passo 7
(Uma verificação alternativa, mais “técnica”): escreva x^{2}-4=(x-2)(x+2). Quando (x,y)\to(2,0) temos x-2\to 0 e x+2\to 4, assim o numerador tende a 0\cdot 4=0. O denominador tende a 3, logo o quociente tende a 0/3=0. Isso reforça a conclusão anterior.