Um empresa de peças faz estoque de um produto de curta duração que lhe custa R e que ele vende a
R$1,50 no primeiro dia em que a empresa esta aberta. Todo produto que não évendido nesse primeiro dia não serve maise é jogado fora. Seja X a v.a.d que denota o número de produtos que os fregueses compram em um dia casualmente escolhido. O gerente descobriu que a função de probabilidade de Xé dado pela tabela abaixo:
e que e<= vende a R 0 1 2 3
x 0,1 0,4 0,3 0,2
Quantos produtos o gerente deve ter em estoque a fim de maximar a média (valor esperado) do seu lucro?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: uma empresa compra um produto por R$0,50 e vende por R$1,50 no primeiro dia. Se sobrar, joga fora (sem valor). A demanda diária X é uma v.a. discreta com
0,50 e vende por R
Conteúdo: “problema do newsvendor” e cálculo de valor esperado de lucro. Vamos precisar lembrar como calcular
  1. o lucro em função do estoque Q e da demanda X,
  2. o valor esperado desse lucro
  3. escolher Q que maximiza esse valor esperado.

Passo 2

Definindo o lucro aleatório π(Q,X):
pi(Q,X)=underbrace1,5preço de vendacdotmin(X,Q);-;underbrace0,5custocdot Q ç
Explicando: se a demanda X for maior que o estoque Q, vendemos Q unidades; se X<Q, vendemos só X. O resto é perdido.
Para achar o lucro médio, usamos esperança:
E[pi(Q,X)] ;=;1,5,E[min(X,Q)];-;0,5,Q
E como achamos E[min(X,Q)] =sumx=0^3 min(x,Q),P(X=x) ? Para v.a. discreta:

Passo 3

Vamos testar todos os possíveis estoques E[min(X,0)]=0, E[pi(0,X)]=1,5cdot0-0,5cdot0=0 .
  1. Q=0
    E[min(X,1)] =0cdot0,1 +1cdot(0,4+0,3+0,2) =0,9 sempre, então
    E[pi(1,X)] =1,5times0,9 -0,5times1 =1,35 -0,5 =0,85
  2. Q=1
    E[min(X,2)] =0cdot0,1 +1cdot0,4 +2cdot(0,3+0,2) =0,4 +2cdot0,5 =1,4 é 0 quando X=0, e 1 quando X=1,2,3.
    E[pi(2,X)] =1,5times1,4 -0,5times2 =2,1 -1 =1,1
    E[min(X,3)] =0cdot0,1 +1cdot0,4 +2cdot0,3 +3cdot0,2 =0,4 +0,6 +0,6 =1,6
  3. Q=2
    E[pi(3,X)] =1,5times1,6 -0,5times3 =2,4 -1,5 =0,9 vale 0 se X=0, 1 se X=1, e 2 se X=2 ou 3.
  4. Q=3
    para todo X (porque X≤3).

Passo 4

Agora é só comparar os lucros médios:
  • Q=0 → 0,00
  • Q=1 → 0,85
  • Q=2 → 1,10
  • Q=3 → 0,90
Máximo de acontece em Q=2.

Resposta

O gerente deve ter em estoque 2 produtos para maximizar o lucro esperado.

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