Seja X e Y v.a. discretas com função de densidade conjunta dada por:
P(X=x, Y=y)=124(x+2 y) x=0,1,2 y=1,2
Responda:
(b) Calcule a E(Y mid X=1).

Passo 1

Beleza, a questão fala de duas variáveis aleatórias discretas X e Y com função de densidade conjunta
P(X=x,Y=y)=124(x+2y), xin0,1,2,;yin1,2
O que queremos é calcular a esperança condicional .
Conteúdo: probabilidade condicional e esperança condicional.
O que precisamos:
  1. Calcular a probabilidade marginal .
  2. Calcular a probabilidade condicional .
  3. Aplicar a definição .

Passo 2

Primeiro, vamos achar P(X=1)=sumy=1^2 P(X=1,Y=y) =sumy=1^2 124(1+2y) .
Por definição de marginal,
P(X=1)=324+524=824=13
Agora eu só somo os dois termos:
  • Para : .
  • Para : .
    Somando:

Passo 3

Com P(Y=ymid X=1) =P(X=1,Y=y)P(X=1) em mãos, vamos à condicional
Para cada :

Passo 4

Agora a definição de esperança condicional:
E(Ymid X=1) =sumy=1^2 y,P(Y=ymid X=1) =1cdot38+2cdot58
Só calcular:
1cdot38= 38, 2cdot58=108,
então
E(Ymid X=1)=38+108=138

Resposta

E(Ymid X=1)=138

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