Q8) Uma empresa pode vender um produto por 720 dólares a unidade. Se x^{\wedge} 2+360 x+1000 é a lei para produzir x unidades por mês, determine quando a empresa tem perdas para produzir tal produto. (O lucro é dado pela receita menos o custo, ie, L(x)=R(x)-C(x) )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Preço de venda por unidade: 720 dólares por unidade.
  • Lei do custo para produzir x unidades por mês: C(x)=x^{2}+360x+1000. (Interpretei x^{\wedge}2 como x^{2}.)
  • Receita mensal ao vender x unidades: R(x)= preço por unidade \times unidades = 720x.
  • O lucro (ou prejuízo) é dado por L(x)=R(x)-C(x).
O que o enunciado pede: determinar para quais valores de x a empresa tem perdas, isto é, quando L(x)<0.

Passo 2

Definir explicitamente as funções que vamos usar e interpretar cada termo.
  • Receita: R(x)=720x.
Aqui x é o número de unidades produzidas e vendidas por mês; 720x é quanto entra de dinheiro.
  • Custo: C(x)=x^{2}+360x+1000.
Esse é quanto custa produzir x unidades por mês.
  • Lucro: L(x)=R(x)-C(x)=720x-\bigl(x^{2}+360x+1000\bigr).
Agora vamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Simplificar L(x) passo a passo (mostrando cada termo):
L(x)=720x-x^{2}-360x-1000.
Agrupando termos semelhantes (os que têm x^{2}, os que têm x e os constantes):
L(x)=-x^{2}+(720x-360x)-1000=-x^{2}+360x-1000.
Explicação didática: o termo -x^{2} vem do custo quadrático; o termo 360x é a diferença entre a receita linear 720x e a parte linear do custo 360x; o -1000 é o custo fixo.
Perda ocorre quando L(x)<0. Então resolvemos a desigualdade:
-x^{2}+360x-1000<0.

Passo 4

Resolver a desigualdade quadrática. Primeiro multiplico por -1 para ter o termo x^{2} positivo — lembrando de inverter o sinal da desigualdade:
x^{2}-360x+1000>0.
Para estudar o sinal desta expressão, calculamos as raízes da equação associada x^{2}-360x+1000=0. Use a fórmula quadrática:
\Delta = b^{2}-4ac = (-360)^{2}-4\cdot1\cdot1000 = 129600-4000=125600.
Raiz do discriminante (simplificando fatores):
\sqrt{\Delta}=\sqrt{125600}=\sqrt{400\cdot314}=20\sqrt{314}.
Aplicando a fórmula das raízes:
x=\frac{360\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{360\pm20\sqrt{314}}{2}=180\pm10\sqrt{314}.
Estas são as duas raízes exatas. Agora uma aproximação numérica para ter senso prático:
\sqrt{314}\approx17,720,\quad 10\sqrt{314}\approx177,20,
portanto
x_{1}=180-10\sqrt{314}\approx2,80,\qquad x_{2}=180+10\sqrt{314}\approx357,20.

Passo 5

Interpretar o sinal da parábola e concluir os intervalos de prejuízo.
  • A função f(x)=x^{2}-360x+1000 é uma parábola com coeficiente dominante positivo, isto é, abre para cima. Logo f(x)>0 para x<x_{1} e para x>x_{2}, e f(x)<0 para x_{1}<x<x_{2}.
  • Lembrando que f(x)=x^{2}-360x+1000 foi obtida a partir de -L(x). Assim L(x)<0 exatamente quando f(x)>0.
Portanto, a empresa tem perdas quando x está fora do intervalo entre as raízes — isto é, para valores menores que x_{1} ou maiores que x_{2}.
Como x representa unidades produzidas, x\ge0. Assim, os intervalos de perda são:
  • caso contínuo (qualquer x\ge0): \;0\le x<180-10\sqrt{314}\; ou \;x>180+10\sqrt{314}.
Interpretação prática inteira (se x tem que ser número inteiro de unidades):
  • Para x inteiro, perdas ocorrem para x=0,1,2 (porque 2<2,80) e para x\ge358 (porque 357,20<358).

Resposta

A empresa tem perdas para \;0\le x<180-10\sqrt{314}\; ou \;x>180+10\sqrt{314}. (Aproximação numérica: 0\le x<2,80 ou x>357,20.)
Perda em unidades inteiras: x=0,1,2 ou x\ge358.

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