Q8) Uma empresa pode vender um produto por 720 dólares a unidade. Se
é a lei para produzir
unidades por mês, determine quando a empresa tem perdas para produzir tal produto. (O lucro é dado pela receita menos o custo, ie,
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Preço de venda por unidade:
dólares por unidade. - Lei do custo para produzir
unidades por mês: . (Interpretei como .) - Receita mensal ao vender
unidades: preço por unidade unidades = . - O lucro (ou prejuízo) é dado por
.
O que o enunciado pede: determinar para quais valores de
a empresa tem perdas, isto é, quando
.
Passo 2
Definir explicitamente as funções que vamos usar e interpretar cada termo.
- Receita:
Aqui
é o número de unidades produzidas e vendidas por mês;
é quanto entra de dinheiro.
- Custo:
Esse é quanto custa produzir
unidades por mês.
- Lucro:
Agora vamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Simplificar
passo a passo (mostrando cada termo):
Agrupando termos semelhantes (os que têm
, os que têm
e os constantes):
Explicação didática: o termo
vem do custo quadrático; o termo
é a diferença entre a receita linear
e a parte linear do custo
; o
é o custo fixo.
Perda ocorre quando
. Então resolvemos a desigualdade:
Passo 4
Resolver a desigualdade quadrática. Primeiro multiplico por
para ter o termo
positivo — lembrando de inverter o sinal da desigualdade:
Para estudar o sinal desta expressão, calculamos as raízes da equação associada
. Use a fórmula quadrática:
Raiz do discriminante (simplificando fatores):
Aplicando a fórmula das raízes:
Estas são as duas raízes exatas. Agora uma aproximação numérica para ter senso prático:
portanto
Passo 5
Interpretar o sinal da parábola e concluir os intervalos de prejuízo.
- A função
é uma parábola com coeficiente dominante positivo, isto é, abre para cima. Logo para e para , e para . - Lembrando que
foi obtida a partir de . Assim exatamente quando .
Portanto, a empresa tem perdas quando
está fora do intervalo entre as raízes — isto é, para valores menores que
ou maiores que
.
Como
representa unidades produzidas,
. Assim, os intervalos de perda são:
- caso contínuo (qualquer
): ou
Interpretação prática inteira (se
tem que ser número inteiro de unidades):
- Para
inteiro, perdas ocorrem para (porque ) e para (porque ).
Resposta
A empresa tem perdas para
ou
(Aproximação numérica:
ou
.)
Perda em unidades inteiras:
ou
.