Um pesquisador da rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado pela tabela:
35
26
39
25
39
22
42
40
39
22
21
40
16
32
39
21
28
39
18
37
23
14
27
44
30
32
21
15
26
43
(a) Resuma as informações sob a forma de uma distribuição de frequência. Dado
(b) Apresente os dados na forma de um histograma;
(c) Apresente os dados na forma de um polígono de frequência;
(d) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
| 35 | 26 | 39 | 25 | 39 | 22 |
| 42 | 40 | 39 | 22 | 21 | 40 |
| 16 | 32 | 39 | 21 | 28 | 39 |
| 18 | 37 | 23 | 14 | 27 | 44 |
| 30 | 32 | 21 | 15 | 26 | 43 |
(b) Apresente os dados na forma de um histograma;
(c) Apresente os dados na forma de um polígono de frequência;
(d) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre as idades de
transeuntes (peguei todos os valores da tabela do enunciado):
As perguntas são:
(a) resumir os dados sob a forma de uma distribuição de frequência;
(b) apresentar os dados em forma de histograma;
(c) apresentar os dados em forma de polígono de frequência;
(d) calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
(a) resumir os dados sob a forma de uma distribuição de frequência;
(b) apresentar os dados em forma de histograma;
(c) apresentar os dados em forma de polígono de frequência;
(d) calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
Dados úteis fornecidos:
.
Vou usar esses valores tal como estão (não há dados faltando) e trabalhar passo a passo.
Vou usar esses
Passo 2
Quantas classes usar? Vou aplicar a fórmula prática de Sturges (muito usada em estatística descritiva):
onde
é o número de observações. Aqui
e
, então
Portanto vamos usar
classes (é uma escolha razoável para
). Explicação rápida: essa fórmula dá um número prático de classes para resumir um conjunto de dados sem perder muita informação nem ficar com muitas classes vazias.
Passo 3
Escolher a amplitude (largura) das classes. Primeiro encontro o valor mínimo e máximo dos dados:
A amplitude total é
Uma largura teórica seria
Para trabalhar com dados inteiros e cobrir o máximo de forma prática, escolhi uma largura
(um número “redondo” que cobre tudo facilmente). Assim as classes ficam com largura
e cobrem os valores desde 14 até acima de 44. Usarei limites inteiros por classe (cada classe inclui os extremos inteiros indicados). As classes escolhidas são:
Observação: escolhi as classes assim para ficar simples ao desenhar histograma e porque cobrem todos os dados (o único valor
fica na última classe). Também calculo os pontos médios de cada classe (úteis para o polígono e outras medidas):
Passo 4
Contar quantos valores caem em cada classe (faço a contagem a partir dos
números da tabela):
- Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valor → .
Verificação:
. Tudo certo.
Calculo também as frequências relativas
e as frequências acumuladas
:
Resumo em tabela (forma verbal para ficar clara):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .]
Passo 5
Como desenhar o histograma (instruções e dados prontos):
- No eixo horizontal (eixo
) marcar as classes: . Cada barra tem largura unidades. - No eixo vertical (eixo
) marcar a frequência absoluta . - Para cada classe desenhar um retângulo cuja base é a classe e cuja altura é
. Assim as alturas serão, respetivamente: .
Observação prática: se quiser um histograma com densidade em vez de frequência (caso as larguras fossem diferentes), dividiriapela largura; aqui todas as larguras são iguais, então altura proporcional a está ok.
Passo 6
Como construir o polígono de frequência (dados prontos para plotar):
- Use os pontos
, onde são os pontos médios calculados antes. Os pontos são:
- Para fechar o polígono normalmente acrescenta-se um ponto antes do primeiro com frequência
no limite esquerdo da primeira classe e um ponto depois do último com frequência no limite direito da última classe. Aqui esses pontos de fecho são e (ou os limites exatos que escolher). - Liga-se os pontos na ordem com segmentos de reta para formar o polígono de frequência.
Passo 7
Cálculo da média amostral
. Fórmula e interpretação:
onde
são as idades observadas e
. Somando todos os
valores (peguei-os da tabela) obtemos
Logo
Arredondando para duas casas decimais:
anos. Interpretação: a idade média dos transeuntes da amostra é aproximadamente
anos.
Passo 8
Cálculo do desvio padrão amostral
. Vou usar a fórmula computacional (mais prática para somas já conhecidas):
Aqui já calculei
Substituindo:
É conveniente escrever a forma racional exata:
portanto
Tomando raiz:
Arredondando para duas casas decimais:
anos. Interpretação: a variabilidade amostral das idades é tal que o desvio padrão amostral é cerca de
anos.
Resposta
(a) Distribuição de frequência (classes
, frequência
, frequência relativa
e acumulada
):
(b) Histograma: barras com base nas classes acima e alturas iguais às frequências
respetivamente (cada barra com largura
).
(c) Polígono de frequência: pontos a plotar
e ligar por segmentos de reta; fechar com
e
.
(d) Média amostral e desvio padrão amostral: