Um pesquisador da rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado pela tabela:
35 26 39 25 39 22
42 40 39 22 21 40
16 32 39 21 28 39
18 37 23 14 27 44
30 32 21 15 26 43
(a) Resuma as informações sob a forma de uma distribuição de frequência. Dado \log 30=1,48 ;
(b) Apresente os dados na forma de um histograma;
(c) Apresente os dados na forma de um polígono de frequência;
(d) Calcule a média e o desvio padrão amostral.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre as idades de 30 transeuntes (peguei todos os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{rrrrrr} 35,&26,&39,&25,&39,&22,\\\\ 42,&40,&39,&22,&21,&40,\\\\ 16,&32,&39,&21,&28,&39,\\\\ 18,&37,&23,&14,&27,&44,\\\\ 30,&32,&21,&15,&26,&43 \end{array}
As perguntas são:
(a) resumir os dados sob a forma de uma distribuição de frequência;
(b) apresentar os dados em forma de histograma;
(c) apresentar os dados em forma de polígono de frequência;
(d) calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
Dados úteis fornecidos: \log 30 = 1{,}48.
Vou usar esses 30 valores tal como estão (não há dados faltando) e trabalhar passo a passo.

Passo 2

Quantas classes usar? Vou aplicar a fórmula prática de Sturges (muito usada em estatística descritiva):
k = 1 + 3{,}322\log n,
onde n é o número de observações. Aqui n=30 e \log 30=1{,}48, então
k = 1 + 3{,}322\cdot 1{,}48 \approx 1 + 4{,}915 \approx 5{,}915\approx 6.
Portanto vamos usar k=6 classes (é uma escolha razoável para n=30). Explicação rápida: essa fórmula dá um número prático de classes para resumir um conjunto de dados sem perder muita informação nem ficar com muitas classes vazias.

Passo 3

Escolher a amplitude (largura) das classes. Primeiro encontro o valor mínimo e máximo dos dados:
\min = 14,\qquad \max = 44.
A amplitude total é \,R=\max-\min=44-14=30. Uma largura teórica seria
h=\frac{R}{k}=\frac{30}{6}=5.
Para trabalhar com dados inteiros e cobrir o máximo de forma prática, escolhi uma largura h=6 (um número “redondo” que cobre tudo facilmente). Assim as classes ficam com largura 6 e cobrem os valores desde 14 até acima de 44. Usarei limites inteiros por classe (cada classe inclui os extremos inteiros indicados). As classes escolhidas são:
\begin{array}{l} \text{Classe 1: }14\le x\le 19\\\ \text{Classe 2: }20\le x\le 25\\\ \text{Classe 3: }26\le x\le 31\\\ \text{Classe 4: }32\le x\le 37\\\ \text{Classe 5: }38\le x\le 43\\\ \text{Classe 6: }44\le x\le 49 \end{array}
Observação: escolhi as classes assim para ficar simples ao desenhar histograma e porque cobrem todos os dados (o único valor \,44 fica na última classe). Também calculo os pontos médios de cada classe (úteis para o polígono e outras medidas):
\begin{array}{l} m_1=16{,}5,\quad m_2=22{,}5,\quad m_3=28{,}5,\\\ m_4=34{,}5,\quad m_5=40{,}5,\quad m_6=46{,}5. \end{array}

Passo 4

Contar quantos valores caem em cada classe (faço a contagem a partir dos 30 números da tabela):
  • Classe 14\le x\le 19: valores 14,15,16,18 f_1=4.
  • Classe 20\le x\le 25: valores 21,21,21,22,22,23,25 f_2=7.
  • Classe 26\le x\le 31: valores 26,26,27,28,30 f_3=5.
  • Classe 32\le x\le 37: valores 32,32,35,37 f_4=4.
  • Classe 38\le x\le 43: valores 39,39,39,39,39,40,40,42,43 f_5=9.
  • Classe 44\le x\le 49: valor 44 f_6=1.
Verificação: \sum_{i=1}^{6} f_i = 4+7+5+4+9+1 = 30 = n. Tudo certo.
Calculo também as frequências relativas p_i=f_i/n e as frequências acumuladas F_i:
\begin{array}{l} p_1=\dfrac{4}{30}=0{,}1333\ldots,\quad F_1=4,\\[4pt] p_2=\dfrac{7}{30}=0{,}2333\ldots,\quad F_2=11,\\[4pt] p_3=\dfrac{5}{30}=0{,}1666\ldots,\quad F_3=16,\\[4pt] p_4=\dfrac{4}{30}=0{,}1333\ldots,\quad F_4=20,\\[4pt] p_5=\dfrac{9}{30}=0{,}3000,\quad F_5=29,\\[4pt] p_6=\dfrac{1}{30}=0{,}0333\ldots,\quad F_6=30. \end{array}
Resumo em tabela (forma verbal para ficar clara):
  • [14,19]: f=4,\;p\approx0{,}1333,\;F=4.
  • [20,25]: f=7,\;p\approx0{,}2333,\;F=11.
  • [26,31]: f=5,\;p\approx0{,}1667,\;F=16.
  • [32,37]: f=4,\;p\approx0{,}1333,\;F=20.
  • [38,43]: f=9,\;p=0{,}3000,\;F=29.
  • [44,49]: f=1,\;p\approx0{,}0333,\;F=30.]

Passo 5

Como desenhar o histograma (instruções e dados prontos):
  • No eixo horizontal (eixo x) marcar as classes: [14,19],[20,25],[26,31],[32,37],[38,43],[44,49]. Cada barra tem largura 6 unidades.
  • No eixo vertical (eixo y) marcar a frequência absoluta f_i.
  • Para cada classe desenhar um retângulo cuja base é a classe e cuja altura é f_i. Assim as alturas serão, respetivamente: 4,7,5,4,9,1.
    Observação prática: se quiser um histograma com densidade em vez de frequência (caso as larguras fossem diferentes), dividiria f_i pela largura; aqui todas as larguras são iguais, então altura proporcional a f_i está ok.

Passo 6

Como construir o polígono de frequência (dados prontos para plotar):
  • Use os pontos (m_i,f_i), onde m_i são os pontos médios calculados antes. Os pontos são:
(16{,}5,\;4),\\ (22{,}5,\;7),\\ (28{,}5,\;5),\\ (34{,}5,\;4),\\ (40{,}5,\;9),\\ (46{,}5,\;1).
  • Para fechar o polígono normalmente acrescenta-se um ponto antes do primeiro com frequência 0 no limite esquerdo da primeira classe e um ponto depois do último com frequência 0 no limite direito da última classe. Aqui esses pontos de fecho são (13{,}5,0) e (49{,}5,0) (ou os limites exatos que escolher).
  • Liga-se os pontos na ordem com segmentos de reta para formar o polígono de frequência.

Passo 7

Cálculo da média amostral \bar{x}. Fórmula e interpretação:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as idades observadas e n=30. Somando todos os 30 valores (peguei-os da tabela) obtemos
\sum_{i=1}^{30} x_i = 895.
Logo
\bar{x}=\frac{895}{30}=29{,}8333\ldots
Arredondando para duas casas decimais: \bar{x}\approx 29{,}83 anos. Interpretação: a idade média dos transeuntes da amostra é aproximadamente 29{,}83 anos.

Passo 8

Cálculo do desvio padrão amostral s. Vou usar a fórmula computacional (mais prática para somas já conhecidas):
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2}{n}\right).
Aqui já calculei
\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 29\,207 \qquad\text{e}\qquad \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 = 895^2 = 801\,025.
Substituindo:
s^2=\frac{1}{29}\left(29\,207 - \frac{801\,025}{30}\right) =\frac{1}{29}\left(29\,207 - 26\,700{,}8333\ldots\right) =\frac{1}{29}\cdot 2\,506{,}1666\ldots
É conveniente escrever a forma racional exata:
\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}=\frac{75\,185}{30}=\frac{15\,037}{6},
portanto
s^2=\frac{15\,037}{174}\approx 86{,}41954\ldots
Tomando raiz:
s=\sqrt{\frac{15\,037}{174}}\approx 9{,}296\ldots
Arredondando para duas casas decimais: s\approx 9{,}30 anos. Interpretação: a variabilidade amostral das idades é tal que o desvio padrão amostral é cerca de 9{,}30 anos.

Resposta

(a) Distribuição de frequência (classes [a,b], frequência f, frequência relativa p e acumulada F):
[14,19]:f=4,\\ p\approx0{,}1333,\\ F=4
[20,25]:f=7,\\ p\approx0{,}2333,\\ F=11
[26,31]:f=5,\\ p\approx0{,}1667,\\ F=16
[32,37]:f=4,\\ p\approx0{,}1333,\\ F=20
[38,43]:f=9,\\ p=0{,}3000,\\ F=29
[44,49]:f=1,\\ p\approx0{,}0333,\\ F=30
(b) Histograma: barras com base nas classes acima e alturas iguais às frequências 4,7,5,4,9,1 respetivamente (cada barra com largura 6).
(c) Polígono de frequência: pontos a plotar (16{,}5,4),(22{,}5,7),(28{,}5,5),(34{,}5,4),(40{,}5,9),(46{,}5,1) e ligar por segmentos de reta; fechar com (13{,}5,0) e (49{,}5,0).
(d) Média amostral e desvio padrão amostral:
\bar{x}=\frac{895}{30}\approx29{,}8333\ldots\\ (\text{ou }29{,}83\\ \text{anos})
s=\sqrt{\frac{15\,037}{174}}\approx9{,}296\ldots\\ (\text{ou }9{,}30\\ \text{anos})

Exercícios relacionados