Uma empresa possui N=240 funcionários organizados em uma lista ordenada de acordo com os turnos de trabalho (manhã, tarde e noite), repetindo-se ciclicamente a cada 3 funcionários.
Deseja-se selecionar uma amostra de tamanho n=40 utilizando amostragem aleatória sistemática.
(a) Determine o valor do salto amostral k.
(b) Suponha que o primeiro elemento sorteado seja o de posição 2. Liste os 10 primeiros elementos da amostra.
(c) Discuta se a amostragem sistemática é adequada nesse caso, considerando a organização da população.
(d) Compare com a amostragem aleatória simples e explique qual método seria mais apropriado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas claras:
  • População: N=240 funcionários, organizados em uma lista ordenada.
  • A ordem segue os turnos ciclicamente: manhã, tarde e noite, repetindo a cada 3 funcionários.
  • Tamanho da amostra desejada: n=40.
    As perguntas:
    (a) Determinar o salto amostral k para amostragem sistemática.
    (b) Supondo que o primeiro elemento sorteado seja o de posição 2, listar os 10 primeiros elementos da amostra (isto é, as posições na lista).
    (c) Discutir se a amostragem sistemática é adequada, considerando a organização por turnos (periodicidade de 3).
    (d) Comparar com a amostragem aleatória simples (SRS) e indicar qual método é mais apropriado aqui.

Passo 2

Vamos explicar o que é o “salto amostral” k e como calculá-lo.
Na amostragem aleatória sistemática, escolhe-se um salto k e um ponto de partida aleatório r entre 1 e k. A amostra é formada pelos elementos nas posições
r,\; r+k,\; r+2k,\; r+3k,\;\dots
para obter n elementos. Uma regra prática e comum é escolher
k=\frac{N}{n}.
Aqui N é o tamanho da população e n o tamanho da amostra; k costuma ser um inteiro quando n divide N.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso:
k=\frac{N}{n}=\frac{240}{40}.
Faço a divisão passo a passo: 240\div 40 = 6. Logo
k=6.
(Isto responde o item (a).)

Passo 4

Agora, para o item (b), uso a regra das posições da amostra com r=2 e k=6. A j-ésima posição da amostra é
r+(j-1)k.
Listo as primeiras dez com j=1,2,\dots,10:
Calculemos uma a uma:
\begin{aligned} j=1:&\quad 2+(1-1)\cdot6=2,\\\ j=2:&\quad 2+(2-1)\cdot6=2+6=8,\\\ j=3:&\quad 2+2\cdot6=14,\\\ j=4:&\quad 2+3\cdot6=20,\\\ j=5:&\quad 2+4\cdot6=26,\\\ j=6:&\quad 2+5\cdot6=32,\\\ j=7:&\quad 2+6\cdot6=38,\\\ j=8:&\quad 2+7\cdot6=44,\\\ j=9:&\quad 2+8\cdot6=50,\\\ j=10:&\quad 2+9\cdot6=56. \end{aligned}
Logo os 10 primeiros elementos (posições) são
2,\;8,\;14,\;20,\;26,\;32,\;38,\;44,\;50,\;56.

Passo 5

Interpreto essas posições em termos de turnos (para entender as consequências). A repetição de turnos é a cada 3 posições: posição 1\) = manhã, \(2\) = tarde, \(3\) = noite, \(4\) = manhã, etc. Isso significa que o turno de uma posição \(p\) depende de \(p\) módulo \(3\): \[p \bmod 3 = \begin{cases} 1 &\Rightarrow \text{manhã},\\\\ 2 &\Rightarrow \text{tarde},\\\\ 0 &\Rightarrow \text{noite}. \end{cases}
Repare que adicionar 6\] a uma posição não altera \(p\bmod 3, porque 6 é múltiplo de 3.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso exemplo com início em r=2: todas as posições listadas têm resto 2 ao dividir por 3, portanto todas correspondem ao turno “tarde”. Em outras palavras, com k=6 e qualquer start r, todos os elementos selecionados terão o mesmo resto módulo 3 (ou seja, o mesmo turno). Isso já aponta para um problema potencial — prossigo a discutir isso no item (c).

Passo 7

Discussão formal do item (c) — adequação da amostragem sistemática neste caso:
  • A população tem uma periodicidade bem definida: turnos repetem a cada 3 unidades.
  • Nosso salto amostral é k=6. Note que 6 é múltiplo de 3 (o período). Isso implica que, qualquer que seja o ponto de partida r, a sequência r, r+6, r+12,\dots contém somente posições com o mesmo resto módulo 3. Assim a amostra sistemática vai, necessariamente, incluir somente funcionários de um único turno (ou só manhã, ou só tarde, ou só noite), dependendo do r sorteado.
  • Consequência prática: a amostra não é representativa em relação ao atributo “turno”. Se a variável de interesse (salário, satisfação, erros, absenteísmo, etc.) variar por turno, a amostra sistemática dará uma visão enviesada — por exemplo, estimativas para a média da população poderão estar muito distorcidas.
  • Conclusão: a amostragem sistemática com k=6 NÃO é adequada quando se espera que exista essa periodicidade de 3 e quando é necessário representar todos os turnos na amostra.

Passo 8

Explico um pouco a ideia de “por que isso é ruim” de forma didática:
  • Imagine que funcionários do turno da noite tenham média de alguma medida (por exemplo, produtividade) diferente da média dos outros turnos. Se a amostra incluir só tarde, a estimativa da média da amostra refletirá a média do turno tarde, não a média global.
  • Em termos de variância/erro: a amostragem sistemática aqui pode ter viés (estimador não converge ao verdadeiro valor esperado) e também erro amostral grande para a característica entre-turnos.
  • Um ponto prático: a amostragem sistemática é ótima quando não há periodicidade sincronizada com k. Quando a periodicidade existe e divide k, ocorre “aliasing” (um conceito simples: o padrão da população é “amostrado” sempre no mesmo ponto do ciclo).

Passo 9

Agora comparo com a amostragem aleatória simples (SRS) — item (d):
  • O que é SRS (explicação prática): escolher n indivíduos de forma que cada subconjunto de n elementos da população tenha igual probabilidade de ser selecionado. Na prática cada pessoa tem igual probabilidade de ser escolhida e as escolhas são independentes (sem o mecanismo do salto fixo).
  • Vantagens da SRS neste caso:
    • A SRS não é sensível a uma periodicidade fixa da lista; em média (esperança) a SRS selecionará aproximadamente a mesma proporção de cada turno que existe na população. Aqui, como a população tem 240 com ciclos de 3, cada turno tem exatamente 240/3=80 funcionários. A SRS, em média, dará cerca de n\cdot(80/240)=40\cdot\frac{1}{3}\approx13{,}33 funcionários de cada turno (na prática 13 ou 14).
    • Portanto a SRS tende a produzir amostras mais representativas em relação ao turno.
  • Desvantagens relativas da SRS:
    • Pode ser um pouco mais trabalhosa operacionalmente (necessita lista e sorteio aleatório de 40 índices ou uso de gerador aleatório), enquanto a sistemática é muito simples de aplicar em campo.
  • Alternativa ainda melhor: amostragem estratificada por turno. Como se conhece a divisão em turnos, uma boa prática é estratificar por turno e, dentro de cada turno, fazer SRS proporcional. Aqui cada turno tem 80 elementos (um terço da população), então uma alocação proporcional seria tirar aproximadamente \frac{1}{3} de 40 em cada turno — isto é, dois turnos com 13 e um com 14, por exemplo, totalizando 40. Isso garante representação de cada turno e geralmente reduz variância das estimativas quando há diferença entre turnos.

Passo 10

Recomendações práticas e resumo (tom amigável):
  • Não use amostragem sistemática com k=6 nesta ordenação por turno — ela sempre pegará apenas um turno e será não representativa. É um caso clássico de “quando a periodicidade da população casa com o salto, a sistemática falha”.
  • Preferível: usar SRS ou, ainda melhor, amostragem estratificada por turno (proporcional), que dá amostras que representam todos os turnos e reduz o erro.
  • Dica rápida para prova: ao ver população ordenada por algum ciclo pequeno, verifique se k é múltiplo do período do ciclo. Se for, sistemática é problemática.

Resposta

(a) k=6
(b) 2,\;8,\;14,\;20,\;26,\;32,\;38,\;44,\;50,\;56
(c) Não — a amostragem sistemática com k=6 não é adequada, porque a população tem periodicidade 3 (turnos) e 6 é múltiplo de 3; assim a amostra sistemática selecionará apenas funcionários de um único turno (não representativa).
(d) A amostragem aleatória simples (ou melhor, amostragem estratificada por turno com alocação proporcional: cerca de 13,13,14 por turno) é mais apropriada aqui, pois garante representação dos três turnos e evita o viés causado pela periodicidade.

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