Uma empresa possui
funcionários organizados em uma lista ordenada de acordo com os turnos de trabalho (manhã, tarde e noite), repetindo-se ciclicamente a cada 3 funcionários.
Deseja-se selecionar uma amostra de tamanho
utilizando amostragem aleatória sistemática.
(a) Determine o valor do salto amostral
.
(b) Suponha que o primeiro elemento sorteado seja o de posição 2. Liste os 10 primeiros elementos da amostra.
(c) Discuta se a amostragem sistemática é adequada nesse caso, considerando a organização da população.
(d) Compare com a amostragem aleatória simples e explique qual método seria mais apropriado.
(a) Determine o valor do salto amostral
(b) Suponha que o primeiro elemento sorteado seja o de posição 2. Liste os 10 primeiros elementos da amostra.
(c) Discuta se a amostragem sistemática é adequada nesse caso, considerando a organização da população.
(d) Compare com a amostragem aleatória simples e explique qual método seria mais apropriado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas claras:
- População:
funcionários, organizados em uma lista ordenada. - A ordem segue os turnos ciclicamente: manhã, tarde e noite, repetindo a cada 3 funcionários.
- Tamanho da amostra desejada:
.
As perguntas:
(a) Determinar o salto amostralpara amostragem sistemática.
(b) Supondo que o primeiro elemento sorteado seja o de posição, listar os 10 primeiros elementos da amostra (isto é, as posições na lista).
(c) Discutir se a amostragem sistemática é adequada, considerando a organização por turnos (periodicidade de 3).
(d) Comparar com a amostragem aleatória simples (SRS) e indicar qual método é mais apropriado aqui.
Passo 2
Vamos explicar o que é o “salto amostral”
e como calculá-lo.
Na amostragem aleatória sistemática, escolhe-se um salto e um ponto de partida aleatório
entre
e
. A amostra é formada pelos elementos nas posições
Na amostragem aleatória sistemática, escolhe-se um salto
para obter
elementos. Uma regra prática e comum é escolher
Aqui
é o tamanho da população e
o tamanho da amostra;
costuma ser um inteiro quando
divide
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso:
Faço a divisão passo a passo:
. Logo
(Isto responde o item (a).)
Passo 4
Agora, para o item (b), uso a regra das posições da amostra com
e
. A
-ésima posição da amostra é
Listo as primeiras dez com
:
Calculemos uma a uma:
Logo os 10 primeiros elementos (posições) são
Passo 5
Interpreto essas posições em termos de turnos (para entender as consequências). A repetição de turnos é a cada 3 posições: posição
Repare que adicionar
, porque
é múltiplo de
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso exemplo com início em
: todas as posições listadas têm resto
ao dividir por
, portanto todas correspondem ao turno “tarde”. Em outras palavras, com
e qualquer start
, todos os elementos selecionados terão o mesmo resto módulo
(ou seja, o mesmo turno). Isso já aponta para um problema potencial — prossigo a discutir isso no item (c).
Passo 7
Discussão formal do item (c) — adequação da amostragem sistemática neste caso:
- A população tem uma periodicidade bem definida: turnos repetem a cada
unidades. - Nosso salto amostral é
. Note que é múltiplo de (o período). Isso implica que, qualquer que seja o ponto de partida , a sequência contém somente posições com o mesmo resto módulo . Assim a amostra sistemática vai, necessariamente, incluir somente funcionários de um único turno (ou só manhã, ou só tarde, ou só noite), dependendo do sorteado. - Consequência prática: a amostra não é representativa em relação ao atributo “turno”. Se a variável de interesse (salário, satisfação, erros, absenteísmo, etc.) variar por turno, a amostra sistemática dará uma visão enviesada — por exemplo, estimativas para a média da população poderão estar muito distorcidas.
- Conclusão: a amostragem sistemática com
NÃO é adequada quando se espera que exista essa periodicidade de e quando é necessário representar todos os turnos na amostra.
Passo 8
Explico um pouco a ideia de “por que isso é ruim” de forma didática:
- Imagine que funcionários do turno da noite tenham média de alguma medida (por exemplo, produtividade) diferente da média dos outros turnos. Se a amostra incluir só tarde, a estimativa da média da amostra refletirá a média do turno tarde, não a média global.
- Em termos de variância/erro: a amostragem sistemática aqui pode ter viés (estimador não converge ao verdadeiro valor esperado) e também erro amostral grande para a característica entre-turnos.
- Um ponto prático: a amostragem sistemática é ótima quando não há periodicidade sincronizada com
. Quando a periodicidade existe e divide , ocorre “aliasing” (um conceito simples: o padrão da população é “amostrado” sempre no mesmo ponto do ciclo).
Passo 9
Agora comparo com a amostragem aleatória simples (SRS) — item (d):
- O que é SRS (explicação prática): escolher
indivíduos de forma que cada subconjunto de elementos da população tenha igual probabilidade de ser selecionado. Na prática cada pessoa tem igual probabilidade de ser escolhida e as escolhas são independentes (sem o mecanismo do salto fixo). - Vantagens da SRS neste caso:
- A SRS não é sensível a uma periodicidade fixa da lista; em média (esperança) a SRS selecionará aproximadamente a mesma proporção de cada turno que existe na população. Aqui, como a população tem 240 com ciclos de 3, cada turno tem exatamente
funcionários. A SRS, em média, dará cerca de funcionários de cada turno (na prática 13 ou 14). - Portanto a SRS tende a produzir amostras mais representativas em relação ao turno.
- A SRS não é sensível a uma periodicidade fixa da lista; em média (esperança) a SRS selecionará aproximadamente a mesma proporção de cada turno que existe na população. Aqui, como a população tem 240 com ciclos de 3, cada turno tem exatamente
- Desvantagens relativas da SRS:
- Pode ser um pouco mais trabalhosa operacionalmente (necessita lista e sorteio aleatório de
índices ou uso de gerador aleatório), enquanto a sistemática é muito simples de aplicar em campo.
- Pode ser um pouco mais trabalhosa operacionalmente (necessita lista e sorteio aleatório de
- Alternativa ainda melhor: amostragem estratificada por turno. Como se conhece a divisão em turnos, uma boa prática é estratificar por turno e, dentro de cada turno, fazer SRS proporcional. Aqui cada turno tem
elementos (um terço da população), então uma alocação proporcional seria tirar aproximadamente de em cada turno — isto é, dois turnos com e um com , por exemplo, totalizando . Isso garante representação de cada turno e geralmente reduz variância das estimativas quando há diferença entre turnos.
Passo 10
Recomendações práticas e resumo (tom amigável):
- Não use amostragem sistemática com
nesta ordenação por turno — ela sempre pegará apenas um turno e será não representativa. É um caso clássico de “quando a periodicidade da população casa com o salto, a sistemática falha”. - Preferível: usar SRS ou, ainda melhor, amostragem estratificada por turno (proporcional), que dá amostras que representam todos os turnos e reduz o erro.
- Dica rápida para prova: ao ver população ordenada por algum ciclo pequeno, verifique se
é múltiplo do período do ciclo. Se for, sistemática é problemática.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não — a amostragem sistemática com
não é adequada, porque a população tem periodicidade
(turnos) e
é múltiplo de
; assim a amostra sistemática selecionará apenas funcionários de um único turno (não representativa).
(d) A amostragem aleatória simples (ou melhor, amostragem estratificada por turno com alocação proporcional: cerca de
por turno) é mais apropriada aqui, pois garante representação dos três turnos e evita o viés causado pela periodicidade.