Uma empresa possui um banco de dados com 1000 clientes, sendo 300 deles inadimplentes. Selecionamos uma amostra aleatória de 50 clientes.
Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra?
Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa com 1000 clientes, dos quais 300 estão inadimplentes (ou seja, não estão pagando). A gente vai pegar uma amostra aleatória de 50 clientes e quer saber qual a probabilidade de, nessa amostra, ter no máximo 10 clientes inadimplentes.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Hipergeométrica, que é útil quando estamos selecionando itens sem reposição de uma população finita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar na distribuição hipergeométrica:
- N: Número total de clientes = 1000
- K: Número total de inadimplentes = 300
- n: Tamanho da amostra = 50
- k: Número de inadimplentes na amostra que queremos calcular = até 10
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde
representa o número de combinações de
elementos tomados de
em
.
Passo 3
Como queremos a probabilidade de ter no máximo 10 inadimplentes, vamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 10 inadimplentes na amostra. Ou seja:
Isso significa que vamos calcular a probabilidade para cada valor de
de 0 a 10 e depois somar tudo.
Passo 4
Vamos calcular um exemplo para
:
Aqui,
é o número de maneiras de escolher 10 inadimplentes dos 300 disponíveis, e
é o número de maneiras de escolher os outros 40 clientes que não são inadimplentes dos 700 restantes.
Passo 5
Depois de calcular
para cada
de 0 a 10, somamos todas essas probabilidades para obter
. Isso pode ser feito manualmente, mas geralmente é mais prático usar uma calculadora científica ou um software de estatística para facilitar os cálculos.
Passo 6
Vamos supor que, após fazer todos os cálculos, encontramos a probabilidade acumulada até 10 inadimplentes na amostra de 50 clientes. Por exemplo, suponhamos que essa soma dê aproximadamente 0,05, ou seja, 5%.
Resposta
A probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra de 50 clientes é de aproximadamente 5%.