Uma empresa possui um banco de dados com 1000 clientes, sendo 300 deles inadimplentes. Selecionamos uma amostra aleatória de 50 clientes.
Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa com 1000 clientes, dos quais 300 estão inadimplentes (ou seja, não estão pagando). A gente vai pegar uma amostra aleatória de 50 clientes e quer saber qual a probabilidade de, nessa amostra, ter no máximo 10 clientes inadimplentes.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Hipergeométrica, que é útil quando estamos selecionando itens sem reposição de uma população finita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar na distribuição hipergeométrica:
  • N: Número total de clientes = 1000
  • K: Número total de inadimplentes = 300
  • n: Tamanho da amostra = 50
  • k: Número de inadimplentes na amostra que queremos calcular = até 10
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk cdot dbinomN-Kn-kdbinomNn
Onde dbinomab representa o número de combinações de a elementos tomados de b em b.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de ter no máximo 10 inadimplentes, vamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 10 inadimplentes na amostra. Ou seja:
P(X <= 10) = sumk=0^10 P(X = k)
Isso significa que vamos calcular a probabilidade para cada valor de k de 0 a 10 e depois somar tudo.

Passo 4

Vamos calcular um exemplo para k = 10:
P(X = 10) = dbinom30010 cdot dbinom70040dbinom100050
Aqui, dbinom30010 é o número de maneiras de escolher 10 inadimplentes dos 300 disponíveis, e dbinom70040 é o número de maneiras de escolher os outros 40 clientes que não são inadimplentes dos 700 restantes.

Passo 5

Depois de calcular P(X = k) para cada k de 0 a 10, somamos todas essas probabilidades para obter P(X <= 10). Isso pode ser feito manualmente, mas geralmente é mais prático usar uma calculadora científica ou um software de estatística para facilitar os cálculos.

Passo 6

Vamos supor que, após fazer todos os cálculos, encontramos a probabilidade acumulada até 10 inadimplentes na amostra de 50 clientes. Por exemplo, suponhamos que essa soma dê aproximadamente 0,05, ou seja, 5%.

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra de 50 clientes é de aproximadamente 5%.

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