Sua empresa possui um filtro prensa com área total de 48 \mathrm{~m}^{2}. Por um motivo de mudança de processo, esse equipamento não será mais utilizado. Para aproveitar a mão-de-obra qualificada e o investimento já feito no equipamento você propõe que sua empresa ofereça para outras empresas o uso do filtro como um serviço. Empresas das redondezas acharam interessante e trouxeram uma amostra da suspensão a ser filtrada.
Duas empresas se mostraram interessadas, os testes com as suspensões são apresentados nas tabelas abaixo. A empresa “A” precisa filtrar um volume de 80 \mathrm{~m}^{3} da solução por dia. A torta não precisa ser lavada. A empresa “B” precisa filtrar um volume de 85 \mathrm{~m}^{3} da solução por dia. A torta não precisa ser lavada. O filtro deve ser descarregado quando a massa de torta seca no filtro é de 1000 kg . Considere que o ciclo de montagem e descarregamento é de 10 minutos. Realize os cálculos pertinentes e avalie qual terá o ciclo de filtração mais curto. Faça os mesmos cálculos caso o volume a ser processado por ciclo (das duas suspensões) fosse a metade do anterior. A equação da filtração é 2,61 \times 10^{10} x+5,34 \times 10^{5}.
Table 1: Empresa A
\captionsetup{labelformat=empty}
tempo(s) \mathrm{V}(\mathrm{mL}) \mathrm{V}\left(\mathrm{m}^{\wedge} 3\right) UN
67 40 4,00E-5 1675000
94 50 5,00E-5 1880000
127 60 6,00E-5 2116667
162 70 7.00E-5 2314286
201 80 8,00E-5 2512500
252 90 9,00E•5 2800000
306 100 1.00E•4 3060000
375 110 1,10E-4 3409091
446 120 1,20E-4 3716667
524 130 1,30E•4 4030769
Propriedade Unidade Valor
Viscosidade Pa.s 1,10E-003
Área M^2 3,32E-003
Delta P Pa 50800
C_s Kg/m^3 36,4
Table 2: Empresa B
\captionsetup{labelformat=empty}
tempo(s) V(mL) V(m^3) VV
103 40 4.00E-5 2575000
139 50 5.00E-5 2780000
182 60 6,00E-5 3033333
226 70 7,00E-5 3228571
277 80 8,00E-5 3462500
333 90 9,00E-5 3700000
397 100 1,00E-4 3970000
467 110 1,10E-4 4245455
547 120 1,20E-4 4558333
630 130 1,30E-4 4846154
Propriedade Unidade Valor
Viscosidade Pa.s 1,10E-003
Área M^2 3.32E-003
Delta P Pa 50800
c_s Kg/m3 36,74

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
  • Pedidos:
    1. Determinar o tempo de um ciclo de filtração (filtração + tempo de montagem/descarregamento) para cada empresa (A e B) quando o filtro é descarregado ao atingir massa de torta seca igual a 1000\\ \mathrm{kg}, usando a equação da filtração fornecida.
    2. Repetir os mesmos cálculos considerando que o volume processado por ciclo (para as duas suspensões) foi a metade do anterior.
    3. Indicar qual suspensão (A ou B) apresenta o ciclo de filtração mais curto, nos dois cenários.
  • Dados do enunciado (extraídos das tabelas e do texto):
    • Área do filtro comercial: A_{\text{eq}} = 48\\ \mathrm{m}^{2}.
    • Área do ensaio laboratorial (tabela): A_{\text{lab}} = 3{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}. (Peguei este dado da tabela da Empresa A / B.)
    • Equação experimental (laboratório) fornecida: \frac{t}{V} = 2{,}61\times10^{10}\,x + 5{,}34\times10^{5},onde x é o volume filtrado em \mathrm{m}^{3} no ensaio e \dfrac{t}{V} tem unidade \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}. (Essa equação foi dada no enunciado.)
    • Viscosidade, delta P etc. foram fornecidos nas tabelas, mas a equação experimental já incorpora esses efeitos.
    • Concentração de sólidos (massa seca de torta por volume de alimentação), retirada das tabelas:
      • Empresa A: C_{s,A} = 36{,}4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
      • Empresa B: C_{s,B} = 36{,}74\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
        (Peguei estes valores das tabelas.)
    • Tempo de montagem/descarregamento por ciclo: t_{\text{down}} = 10\\ \text{min} = 600\\ \mathrm{s}.
    • Observação: nas tabelas há os pares (t, V) de ensaio e a coluna \dfrac{t}{V} foi previamente calculada; a equação dada é a regressão linear experimental para \dfrac{t}{V} em função de x.

Passo 2

Entendimento físico e método: como usar a equação experimental e como escalonar do ensaio para o filtro real.
  • Significado de \dfrac{t}{V}: é o tempo de filtração por unidade de volume filtrado (unidade: \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}). Se conheço \dfrac{t}{V} para um volume V, então o tempo de filtração absoluto é t = \left(\frac{t}{V}\right)\cdot V.
  • A equação experimental dada foi obtida com a área do ensaio A_{\text{lab}}. Teoria clássica de filtração mostra que \dfrac{t}{V} (tanto o coeficiente angular como o coeficiente linear) escala com 1/A^{2}. Portanto, para aplicar a equação ao filtro real de área A_{\text{eq}} devemos multiplicar os coeficientes da regressão por \left(\dfrac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2}.
  • Método prático que vamos usar:
    1. Ler a equação experimental laboratorial (coeficiente angular m_{\text{lab}} e intercepto b_{\text{lab}}).
    2. Calcular o fator de escala s = \left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2}.
    3. Obter os coeficientes para a planta: m_{\text{eq}} = m_{\text{lab}}\cdot s,\qquad b_{\text{eq}} = b_{\text{lab}}\cdot s.
    4. Para um volume de filtração por ciclo V (em \mathrm{m}^{3}), calcular \frac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} = m_{\text{eq}}\,V + b_{\text{eq}},e então t_{\text{filtração}} = \left(m_{\text{eq}}\,V + b_{\text{eq}}\right)\cdot V.çã
    5. Tempo total do ciclo = t_{\text{filtração}} + t_{\text{down}}çã.

Passo 3

Cálculo do fator de escala da área (do lab para o filtro real).
  • Valores: A_{\text{lab}} = 3{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2},\qquad A_{\text{eq}} = 48\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Fator: s = \left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2} = \left(\frac{3{,}32\times10^{-3}}{48}\right)^{2}.Calculemos passo a passo: \frac{3{,}32\times10^{-3}}{48} = 6{,}9166667\times10^{-5},
s = \left(6{,}9166667\times10^{-5}\right)^{2} \approx 4{,}7858\times10^{-9}.

Passo 4

Obter os coeficientes do equipamento a partir da equação laboratorial dada.
  • A equação laboratorial dada é \frac{t}{V} = 2{,}61\times10^{10}\,x + 5{,}34\times10^{5},logo m_{\text{lab}} = 2{,}61\times10^{10} e b_{\text{lab}} = 5{,}34\times10^{5}.
  • Aplicando o fator de escala s: m_{\text{eq}} = m_{\text{lab}}\cdot s = 2{,}61\times10^{10}\times 4{,}7858\times10^{-9} \approx 124{,}9\quad\text{(unidade: }\mathrm{s}/\mathrm{m}^{6}\text{ se \(x\) em m}^3\text{)}.
b_{\text{eq}} = b_{\text{lab}}\cdot s = 5{,}34\times10^{5}\times 4{,}7858\times10^{-9} \approx 2{,}556\times10^{-3}\quad\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
  • Resultado prático (equação aplicada ao equipamento): \frac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} \approx 124{,}9\;x + 0{,}002556,com x em \mathrm{m}^{3} e \dfrac{t}{V} em \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
Observação didática rápida: o coeficiente m_{\text{eq}} tem dimensão tal que m_{\text{eq}}\cdot V \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}; quando multiplicamos por V obtemos tempo em segundos, como na expressão de t.

Passo 5

Calcular o volume por ciclo correspondente à massa de torta seca de 1000\\ \mathrm{kg} para cada empresa.
  • Relação entre massa seca de torta M_{\text{torta}} e volume filtrado V: M_{\text{torta}} = C_{s}\cdot V,onde C_{s} é a concentração de sólidos em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Para M_{\text{torta}}=1000\\ \mathrm{kg}: V_{\text{ciclo}} = \frac{1000}{C_{s}}.
  • Empresa A: C_{s,A} = 36{,}4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\quad\Rightarrow\quad V_{A} = \frac{1000}{36{,}4} \approx 27{,}4725\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Empresa B: C_{s,B} = 36{,}74\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\quad\Rightarrow\quad V_{B} = \frac{1000}{36{,}74} \approx 27{,}217\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Calcular o tempo de filtração para cada ciclo (empresa A e B) usando a equação escalada.
Fórmula usada (já mostrada antes):
t_{\text{filtração}} = \left(m_{\text{eq}}\,V + b_{\text{eq}}\right)\cdot V.çã
  • Empresa A:
    • m_{\text{eq}} \approx 124{,}9, b_{\text{eq}} \approx 0{,}002556, V_{A}\approx 27{,}4725\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Primeiro calcule \dfrac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} = 124{,}9\cdot 27{,}4725 + 0{,}002556 \approx 3431{,}03\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
    • Então t_{A,\text{filtração}} \approx 3431{,}03 \times 27{,}4725 \approx 94{,}258\\ \mathrm{s}.çã
  • Empresa B:
    • Para B, podemos estimar uma equação de laboratório ligeiramente diferente; se ajustássemos a partir dos dados da tabela B o coeficiente angular laboratorial daria um valor próximo de 2{,}5235\times10^{10}, o que escalonado fornece m_{\text{eq},B}\approx 120{,}7 e b_{\text{eq},B}\approx 0{,}007494. (Aqui explicito: usei aproximação por extremos da tabela B para obter a regressão laboratorial de B e apliquei o mesmo fator de escala s.)
    • Com m_{\text{eq},B}\approx 120{,}7, b_{\text{eq},B}\approx 0{,}007494 e V_{B}\approx 27{,}217\\ \mathrm{m}^{3}: \frac{t}{V}\Big|_{\text{eq},B} \approx 120{,}7\cdot27{,}217 + 0{,}007494 \approx 3284{,}83\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
t_{B,\text{filtração}} \approx 3284{,}83 \times 27{,}217 \approx 89{,}415\\ \mathrm{s}.çã

Passo 7

Somar o tempo de montagem/descarregamento e converter para horas/minutos (resultado final por ciclo).
  • Tempo de desmontagem/montagem: t_{\text{down}} = 600\\ \mathrm{s}.
  • Empresa A: t_{A,\text{total}} = t_{A,\text{filtração}} + 600 \approx 94{,}258 + 600 = 94{,}858\\ \mathrm{s}.çãConverter para horas e minutos: 94{,}858\\ \mathrm{s} = \frac{94{,}858}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 26{,}35\\ \mathrm{h},que é aproximadamente 26\\ \mathrm{h}\\\ 21\\ \mathrm{min}.
  • Empresa B: t_{B,\text{total}} = 89{,}415 + 600 = 90{,}015\\ \mathrm{s}.Converter: 90{,}015\\ \mathrm{s} \approx \frac{90{,}015}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 25{,}00\\ \mathrm{h},isto é aproximadamente 25\\ \mathrm{h}\\\ 0\\ \mathrm{min}.
Comparação: para a condição de descarregamento a 1000\\ \mathrm{kg} de torta seca, a Empresa B tem ciclo mais curto (~25 h) do que a Empresa A (~26 h 21 min).

Passo 8

Repetir os cálculos para o caso em que o volume processado por ciclo é metade do anterior (ou seja, V/2 para cada empresa); recalcular tempos e comparar.
  • Volumes pela metade: V_{A,\text{metade}} = \frac{V_{A}}{2} \approx \frac{27{,}4725}{2} \approx 13{,}7363\\ \mathrm{m}^{3},
V_{B,\text{metade}} = \frac{V_{B}}{2} \approx \frac{27{,}217}{2} \approx 13{,}6085\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Empresa A (metade):
    • \dfrac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} \approx 124{,}9\cdot 13{,}7363 + 0{,}002556 \approx 1715{,}48\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
    • t_{A,\text{filtração, metade}} \approx 1715{,}48 \times 13{,}7363 \approx 23{,}563\\ \mathrm{s}.çã
    • Somando 600\\ \mathrm{s}: t_{A,\text{total, metade}} \approx 23{,}563 + 600 = 24{,}163\\ \mathrm{s} \approx 6{,}71\\ \mathrm{h},ou seja aproximadamente 6\\ \mathrm{h}\\\ 43\\ \mathrm{min}.
  • Empresa B (metade):
    • \dfrac{t}{V}\Big|_{\text{eq},B} \approx 120{,}7\cdot 13{,}6085 + 0{,}007494 \approx 1642{,}45\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
    • t_{B,\text{filtração, metade}} \approx 1642{,}45 \times 13{,}6085 \approx 22{,}351\\ \mathrm{s}.çã
    • Somando 600\\ \mathrm{s}: t_{B,\text{total, metade}} \approx 22{,}351 + 600 = 22{,}951\\ \mathrm{s} \approx 6{,}37\\ \mathrm{h},ou seja aproximadamente 6\\ \mathrm{h}\\\ 23\\ \mathrm{min}.
Comparação para volumes pela metade: novamente a Empresa B tem ciclo mais curto ( \approx 6\\ \mathrm{h}\\\ 23\\ \mathrm{min}) diante da Empresa A ( \approx 6\\ \mathrm{h}\\\ 43\\ \mathrm{min}).

Resposta

Empresa A (descarga a 1000 kg torta): tempo total por ciclo ≈ 94.858 s ≈ 26 h 21 min
Empresa B (descarga a 1000 kg torta): tempo total por ciclo ≈ 90.015 s ≈ 25 h 00 min
Ciclo mais curto (1000 kg): Empresa B
Empresa A (volume por ciclo = metade): tempo total por ciclo ≈ 24.163 s ≈ 6 h 43 min
Empresa B (volume por ciclo = metade): tempo total por ciclo ≈ 22.951 s ≈ 6 h 23 min
Ciclo mais curto (metade do volume): Empresa B

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