Sua empresa possui um filtro prensa com área total de 48 \mathrm{~m}^{2}. Por um motivo de mudança de processo, esse equipamento não será mais utilizado. Para aproveitar a mão-de-obra qualificada e o investimento já feito no equipamento você propõe que sua empresa ofereça para outras empresas o uso do filtro como um serviço. Empresas das redondezas acharam interessante e trouxeram uma amostra da suspensão a ser filtrada.
Duas empresas se mostraram interessadas, os testes com as suspensões são apresentados nas tabelas abaixo. A empresa “A” precisa filtrar um volume de 80 \mathrm{~m}^{3} da solução por dia. A torta não precisa ser lavada. A empresa “B” precisa filtrar um volume de 85 \mathrm{~m}^{3} da solução por dia. A torta não precisa ser lavada. O filtro deve ser descarregado quando a massa de torta seca no filtro é de 1000 kg . Considere que o ciclo de montagem e descarregamento é de 10 minutos. Realize os cálculos pertinentes e avalie qual terá o ciclo de filtração mais curto. Faça os mesmos cálculos caso o volume a ser processado por ciclo (das duas suspensões) fosse a metade do anterior. A equação da filtração é 2,61 \times 10^{10} x+5,34 \times 10^{5}.
Table 1: Empresa A
\captionsetup{labelformat=empty}
tempo(s)
\mathrm{V}(\mathrm{mL})
\mathrm{V}\left(\mathrm{m}^{\wedge} 3\right)
UN
67
40
4,00E-5
1675000
94
50
5,00E-5
1880000
127
60
6,00E-5
2116667
162
70
7.00E-5
2314286
201
80
8,00E-5
2512500
252
90
9,00E•5
2800000
306
100
1.00E•4
3060000
375
110
1,10E-4
3409091
446
120
1,20E-4
3716667
524
130
1,30E•4
4030769
Propriedade
Unidade
Valor
Viscosidade
Pa.s
1,10E-003
Área
M^2
3,32E-003
Delta P
Pa
50800
C_s
Kg/m^3
36,4
Table 2: Empresa B
\captionsetup{labelformat=empty}
tempo(s)
V(mL)
V(m^3)
VV
103
40
4.00E-5
2575000
139
50
5.00E-5
2780000
182
60
6,00E-5
3033333
226
70
7,00E-5
3228571
277
80
8,00E-5
3462500
333
90
9,00E-5
3700000
397
100
1,00E-4
3970000
467
110
1,10E-4
4245455
547
120
1,20E-4
4558333
630
130
1,30E-4
4846154
Propriedade
Unidade
Valor
Viscosidade
Pa.s
1,10E-003
Área
M^2
3.32E-003
Delta P
Pa
50800
c_s
Kg/m3
36,74
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
Pedidos:
Determinar o tempo de um ciclo de filtração (filtração + tempo de montagem/descarregamento) para cada empresa (A e B) quando o filtro é descarregado ao atingir massa de torta seca igual a 1000\\ \mathrm{kg}, usando a equação da filtração fornecida.
Repetir os mesmos cálculos considerando que o volume processado por ciclo (para as duas suspensões) foi a metade do anterior.
Indicar qual suspensão (A ou B) apresenta o ciclo de filtração mais curto, nos dois cenários.
Dados do enunciado (extraídos das tabelas e do texto):
Área do filtro comercial: A_{\text{eq}} = 48\\ \mathrm{m}^{2}.
Área do ensaio laboratorial (tabela): A_{\text{lab}} = 3{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}. (Peguei este dado da tabela da Empresa A / B.)
Equação experimental (laboratório) fornecida:\frac{t}{V} = 2{,}61\times10^{10}\,x + 5{,}34\times10^{5},onde x é o volume filtrado em \mathrm{m}^{3} no ensaio e \dfrac{t}{V} tem unidade \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}. (Essa equação foi dada no enunciado.)
Viscosidade, delta P etc. foram fornecidos nas tabelas, mas a equação experimental já incorpora esses efeitos.
Concentração de sólidos (massa seca de torta por volume de alimentação), retirada das tabelas:
Empresa A: C_{s,A} = 36{,}4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Empresa B: C_{s,B} = 36{,}74\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
(Peguei estes valores das tabelas.)
Tempo de montagem/descarregamento por ciclo: t_{\text{down}} = 10\\ \text{min} = 600\\ \mathrm{s}.
Observação: nas tabelas há os pares (t, V) de ensaio e a coluna \dfrac{t}{V} foi previamente calculada; a equação dada é a regressão linear experimental para \dfrac{t}{V} em função de x.
Passo 2
Entendimento físico e método: como usar a equação experimental e como escalonar do ensaio para o filtro real.
Significado de \dfrac{t}{V}: é o tempo de filtração por unidade de volume filtrado (unidade: \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}). Se conheço \dfrac{t}{V} para um volume V, então o tempo de filtração absoluto ét = \left(\frac{t}{V}\right)\cdot V.
A equação experimental dada foi obtida com a área do ensaio A_{\text{lab}}. Teoria clássica de filtração mostra que \dfrac{t}{V} (tanto o coeficiente angular como o coeficiente linear) escala com 1/A^{2}. Portanto, para aplicar a equação ao filtro real de área A_{\text{eq}} devemos multiplicar os coeficientes da regressão por \left(\dfrac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2}.
Método prático que vamos usar:
Ler a equação experimental laboratorial (coeficiente angular m_{\text{lab}} e intercepto b_{\text{lab}}).
Calcular o fator de escalas = \left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2}.
Obter os coeficientes para a planta:m_{\text{eq}} = m_{\text{lab}}\cdot s,\qquad b_{\text{eq}} = b_{\text{lab}}\cdot s.
Para um volume de filtração por ciclo V (em \mathrm{m}^{3}), calcular\frac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} = m_{\text{eq}}\,V + b_{\text{eq}},e entãot_{\text{filtração}} = \left(m_{\text{eq}}\,V + b_{\text{eq}}\right)\cdot V.çã
Tempo total do ciclo = t_{\text{filtração}} + t_{\text{down}}çã.
Passo 3
Cálculo do fator de escala da área (do lab para o filtro real).
Fator:s = \left(\frac{A_{\text{lab}}}{A_{\text{eq}}}\right)^{2} = \left(\frac{3{,}32\times10^{-3}}{48}\right)^{2}.Calculemos passo a passo:\frac{3{,}32\times10^{-3}}{48} = 6{,}9166667\times10^{-5},
s = \left(6{,}9166667\times10^{-5}\right)^{2} \approx 4{,}7858\times10^{-9}.
Passo 4
Obter os coeficientes do equipamento a partir da equação laboratorial dada.
A equação laboratorial dada é\frac{t}{V} = 2{,}61\times10^{10}\,x + 5{,}34\times10^{5},logo m_{\text{lab}} = 2{,}61\times10^{10} e b_{\text{lab}} = 5{,}34\times10^{5}.
Aplicando o fator de escala s:m_{\text{eq}} = m_{\text{lab}}\cdot s = 2{,}61\times10^{10}\times 4{,}7858\times10^{-9} \approx 124{,}9\quad\text{(unidade: }\mathrm{s}/\mathrm{m}^{6}\text{ se \(x\) em m}^3\text{)}.
b_{\text{eq}} = b_{\text{lab}}\cdot s = 5{,}34\times10^{5}\times 4{,}7858\times10^{-9} \approx 2{,}556\times10^{-3}\quad\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
Resultado prático (equação aplicada ao equipamento):\frac{t}{V}\Big|_{\text{eq}} \approx 124{,}9\;x + 0{,}002556,com x em \mathrm{m}^{3} e \dfrac{t}{V} em \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
Observação didática rápida: o coeficiente m_{\text{eq}} tem dimensão tal que m_{\text{eq}}\cdot V dá \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}; quando multiplicamos por V obtemos tempo em segundos, como na expressão de t.
Passo 5
Calcular o volume por ciclo correspondente à massa de torta seca de 1000\\ \mathrm{kg} para cada empresa.
Relação entre massa seca de torta M_{\text{torta}} e volume filtrado V:M_{\text{torta}} = C_{s}\cdot V,onde C_{s} é a concentração de sólidos em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Para M_{\text{torta}}=1000\\ \mathrm{kg}:V_{\text{ciclo}} = \frac{1000}{C_{s}}.
Para B, podemos estimar uma equação de laboratório ligeiramente diferente; se ajustássemos a partir dos dados da tabela B o coeficiente angular laboratorial daria um valor próximo de 2{,}5235\times10^{10}, o que escalonado fornece m_{\text{eq},B}\approx 120{,}7 e b_{\text{eq},B}\approx 0{,}007494. (Aqui explicito: usei aproximação por extremos da tabela B para obter a regressão laboratorial de B e apliquei o mesmo fator de escala s.)
Com m_{\text{eq},B}\approx 120{,}7, b_{\text{eq},B}\approx 0{,}007494 e V_{B}\approx 27{,}217\\ \mathrm{m}^{3}:\frac{t}{V}\Big|_{\text{eq},B} \approx 120{,}7\cdot27{,}217 + 0{,}007494 \approx 3284{,}83\\ \mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}.
Somar o tempo de montagem/descarregamento e converter para horas/minutos (resultado final por ciclo).
Tempo de desmontagem/montagem: t_{\text{down}} = 600\\ \mathrm{s}.
Empresa A:t_{A,\text{total}} = t_{A,\text{filtração}} + 600 \approx 94{,}258 + 600 = 94{,}858\\ \mathrm{s}.çãConverter para horas e minutos:94{,}858\\ \mathrm{s} = \frac{94{,}858}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 26{,}35\\ \mathrm{h},que é aproximadamente 26\\ \mathrm{h}\\\ 21\\ \mathrm{min}.
Empresa B:t_{B,\text{total}} = 89{,}415 + 600 = 90{,}015\\ \mathrm{s}.Converter:90{,}015\\ \mathrm{s} \approx \frac{90{,}015}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 25{,}00\\ \mathrm{h},isto é aproximadamente 25\\ \mathrm{h}\\\ 0\\ \mathrm{min}.
Comparação: para a condição de descarregamento a 1000\\ \mathrm{kg} de torta seca, a Empresa B tem ciclo mais curto (~25 h) do que a Empresa A (~26 h 21 min).
Passo 8
Repetir os cálculos para o caso em que o volume processado por ciclo é metade do anterior (ou seja, V/2 para cada empresa); recalcular tempos e comparar.
Volumes pela metade:V_{A,\text{metade}} = \frac{V_{A}}{2} \approx \frac{27{,}4725}{2} \approx 13{,}7363\\ \mathrm{m}^{3},
Somando 600\\ \mathrm{s}:t_{B,\text{total, metade}} \approx 22{,}351 + 600 = 22{,}951\\ \mathrm{s} \approx 6{,}37\\ \mathrm{h},ou seja aproximadamente 6\\ \mathrm{h}\\\ 23\\ \mathrm{min}.
Comparação para volumes pela metade: novamente a Empresa B tem ciclo mais curto (\approx 6\\ \mathrm{h}\\\ 23\\ \mathrm{min}) diante da Empresa A (\approx 6\\ \mathrm{h}\\\ 43\\ \mathrm{min}).
Resposta
Empresa A (descarga a 1000 kg torta): tempo total por ciclo ≈ 94.858 s ≈ 26 h 21 min
Empresa B (descarga a 1000 kg torta): tempo total por ciclo ≈ 90.015 s ≈ 25 h 00 min
Ciclo mais curto (1000 kg): Empresa B
Empresa A (volume por ciclo = metade): tempo total por ciclo ≈ 24.163 s ≈ 6 h 43 min
Empresa B (volume por ciclo = metade): tempo total por ciclo ≈ 22.951 s ≈ 6 h 23 min
Ciclo mais curto (metade do volume): Empresa B