Uma empresa possui uma frota de 30 veículos. Baseado em estatísticas anteriores, a empresa sabe que a probabilidade de um dos veículos apresentarem algum defeito durante um dia é de 0.5 \%, de forma independente. Aos domingos, quando os serviços de transporte são menos utilizados, a empresa mantém apenas 10 veículos em serviço.
(a) Considere X a variável aleatória que calcula a quantidade de veículos que apresentam defeito em um dia de domingo. Qual é a distribuição de X ?
(b) Encontre a probabilidade de que nenhum veículo apresente defeito.
(c) Encontre a probabilidade de que no mínimo 5 veículos apresentem problema. (Apenas escreva a fórmula, não é necessário calcular).
(d) Para aumentar o faturamento a empresa decide alugar parte da frota não utilizada aos domingos. Qual é o máximo de veículos que a empresa deve alugar para garantir que não faltem carros em sua operação com probabilidade de no mínimo 99 \% (Não é necessário fazer a conta, apenas explique o procedimento para encontrar a resposta).

Passo 1

O enunciado diz que em cada dia a probabilidade de um veículo apresentar defeito é de 0{,}5\% de forma independente. Aos domingos só estão em uso 10 veículos, e definimos X como o número de defeitos nesse dia. O que precisamos:
  • (a) identificar a distribuição de X,
  • (b) calcular P(X=0),
  • (c) escrever a fórmula para P(X\ge5),
  • (d) explicar como determinar quantos veículos alugar (dos 20 não usados) para ter pelo menos 99\% de chance de não faltar carro.

Passo 2

Como há n=10 ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso (defeito) p=0{,}005, temos
X \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=10,\;p=0{,}005\bigr).

Passo 3

A probabilidade de nenhum veículo apresentar defeito é
P(X=0) = (1-p)^{10} = (1 - 0{,}005)^{10} = 0{,}995^{10}.

Passo 4

A probabilidade de pelo menos 5 veículos apresentarem defeito é
P(X \ge 5) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k}\,(0{,}005)^{k}\,(1 - 0{,}005)^{10-k}.

Passo 5

Se a empresa alugar R dos 20 veículos não usados, restarão 20 - R reservas para cobrir defeitos. Para garantir que o número de defeitos X não supere essas reservas com probabilidade de pelo menos 99\%, basta:
  1. encontrar o menor inteiro s tal que
P(X \le s)\;\ge\;0{,}99,
  1. então alugar no máximo
R_{\max} \;=\; 20 \;-\; s
veículos.

Resposta

(a) X \sim \mathrm{Binomial}(10,0{,}005).
(b) P(X=0) = 0{,}995^{10}.
(c) P(X\ge5)=\displaystyle\sum_{k=5}^{10}\binom{10}{k}(0{,}005)^k(1-0{,}005)^{10-k}.
(d) Encontrar o menor s com P(X \le s)\ge0{,}99 e então tomar R_{\max}=20-s.

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