Uma empresa deseja contratar trabalhadores temporários para desenvolver um projeto e pode contratar de 1 a 4 trabalhadores (dependendo do tamanho do projeto). Considere X a variável aleatória que conta a quantidade de funcionários contratados para um projeto aleatório. Sabe-se que a probabilidade de que k funcionários sejam contratados é proporcional a k, isto é, f_{X}(x)=\alpha x.
(a) Encontre o valor de \alpha.
(b) Qual a probabilidade de ser necessário contratar exatamente três funcionários temporários?

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X com suporte \{1,2,3,4\} e massa de probabilidade
f_X(k)=\alpha\,k,
onde \alpha é uma constante de normalização. Precisamos (a) determinar \alpha usando a condição \sum_{k=1}^{4}f_X(k)=1 e (b) calcular \Pr(X=3).

Passo 2

A condição de normalização exige
\sum_{k=1}^{4}f_X(k)=\sum_{k=1}^{4}\alpha\,k=\alpha\sum_{k=1}^{4}k=1.
Como
\sum_{k=1}^{4}k = 1+2+3+4 = 10,
temos
\alpha \cdot 10 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{1}{10}.

Passo 3

Para encontrar \Pr(X=3), basta usar
\Pr(X=3)=f_X(3)=\alpha\cdot 3.
Substituindo \alpha=\tfrac{1}{10}, obtemos
\Pr(X=3)=\frac{1}{10}\times 3 = \frac{3}{10}.

Resposta

(a) \alpha = \tfrac{1}{10}.
(b) \Pr(X=3) = \tfrac{3}{10}.

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