Seja X uma variável aleatória discreta com suporte finito. Recorde que E(X) representa a esperança, ou média, de X. Considere que Y é uma outra variável aleatória definida por Y=2 X+3, encontre E(Y).

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória discreta de suporte finito e que definimos
Y = 2\,X + 3.
O objetivo é usar a propriedade da linearidade da esperança para expressar E(Y) em função de E(X).

Passo 2

Pela definição de esperança de uma variável discreta, temos
E(Y) = \sum_{y} y\,P(Y=y).
Como Y = 2X + 3, cada valor y de Y está associado a um valor x de X tal que y = 2x + 3. Então podemos reescrever a soma sobre os valores de X:
E(Y) = \sum_{x} (2x + 3)\,P(X = x).

Passo 3

Agora separamos a soma em duas partes, usando distributividade:
E(Y) = \sum_{x} 2x\,P(X=x) \;+\;\sum_{x} 3\,P(X=x).

Passo 4

Reconhecemos que
\sum_{x} x\,P(X=x) = E(X) \quad\text{e}\quad \sum_{x} P(X=x) = 1.
Portanto
E(Y) = 2\,E(X) + 3\cdot 1 = 2\,E(X) + 3.

Resposta

E(Y) = 2\,E(X) + 3.

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