Uma empresa prestadora de serviços realizou um contrato de arrendamento de um trator agrícola com as seguintes características:
  • Valor global do trator: \mathrm{R} \ 360.000,00$
  • Valor residual garantido: R$ 90.000,00
  • Contraprestações: 36 contraprestações
  • Taxa de juros: 2,0 \% ao mês
Determine o valor das constraprestações a pagar e o coeficiente de arrendamento (CA). Considere a inclusão dos juros do VRG no CA e inclusão dos juros do VRG nas contraprestações.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras: o valor das contraprestações mensais a pagar e o coeficiente de arrendamento (CA). Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{Valor global do trator} &= P = \mathrm{R}\$\,360.000,00,\\\ \text{Valor residual garantido} &= G = \mathrm{R}\$\,90.000,00,\\\ \text{Número de contraprestações} &= n = 36,\\\ \text{Taxa de juros mensal} &= i = 2{,}0\% = 0{,}02. \end{aligned}úçõ
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Determinar o valor de cada contraprestação mensal R.
  2. Determinar o coeficiente de arrendamento CA (isto é, o pagamento R dividido pelo preço P), considerando que os juros sobre o VRG são incluídos no cálculo do CA e incluídos nas contraprestações (forma padrão em que o VRG é descontado ao valor presente).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): quando há um valor residual garantido G que será considerado, a igualdade financeira em valor presente entre o preço e os recebimentos do arrendador é:
P = R\cdot a_{\overline{n}|i} + \frac{G}{(1+i)^n},
onde a_{\overline{n}|i} é o fator de anuidade (o valor presente de uma série de n pagamentos unitários imediatos) dado por
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada termo:
  • P é o valor atual do bem que precisa ser “recuperado” pelo arrendador;
  • R é a contraprestação periódica (o que queremos);
  • a_{\overline{n}|i} transforma uma série de pagamentos R em seu valor presente;
  • \dfrac{G}{(1+i)^n} é o valor presente do VRG (porque G só é efetivamente realizado no final do contrato e, portanto, precisa ser descontado ao presente).
    A partir da equação acima isolamos R:
R=\frac{P-\dfrac{G}{(1+i)^n}}{a_{\overline{n}|i}}.
O coeficiente de arrendamento CA é simplesmente
CA=\frac{R}{P}.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos que precisamos: primeiro o fator de desconto (1+i)^{-n}. Calculamos (1+i)^k para ir acumulando até k=36 (faço isso pra você saber como se faz na prova sem calculadora: multiplicar por 1{,}02 repetidamente).
Cálculo passo a passo de (1{,}02)^{k} (mostro cada passo curto):
\begin{aligned} 1{,}02^{1} &= 1{,}02,\\\\ 1{,}02^{2} &= 1{,}0404,\\\\ 1{,}02^{3} &= 1{,}061208,\\\\ 1{,}02^{4} &= 1{,}08243216,\\\\ 1{,}02^{5} &= 1{,}1040808032,\\\\ 1{,}02^{6} &= 1{,}126162419264,\\\\ 1{,}02^{12} &= 1{,}2682417945625454 \quad(\text{obtido multiplicando até }6\text{ e elevando ao quadrado}),\\\ \text{e continuando multiplicando por }1{,}02\text{ até }36\text{, obtém-se}\\\\ 1{,}02^{36} &\approx 2{,}039887343715704. \end{aligned}ééé
Logo o fator de desconto é
(1+i)^{-n}=(1{,}02)^{-36}\approx \frac{1}{2{,}039887343715704}\approx 0{,}490223906.

Passo 4

Com (1+i)^{-n} em mãos, calculamos o fator de anuidade a_{\overline{n}|i}:
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} =\frac{1-0{,}490223906}{0{,}02} =\frac{0{,}509776094}{0{,}02} \approx 25{,}4888047.
Explicação didática: a_{\overline{n}|i} diz quantos reais, em valor presente, vale cada unidade de pagamento periódico quando a taxa é i e o número de pagamentos é n. Aqui cada pagamento de 1 daqui a cada mês tem valor presente somado igual a aproximadamente 25{,}4888.

Passo 5

Calculamos o valor presente do VRG:
\frac{G}{(1+i)^n} = 90.000 \times 0{,}490223906 \approx 44.120{,}1515.
Agora o numerador para achar R:
P-\frac{G}{(1+i)^n}=360.000 - 44.120{,}1515 \approx 315.879{,}8485.

Passo 6

Agora calcule R pela fórmula:
R=\frac{P-\dfrac{G}{(1+i)^n}}{a_{\overline{n}|i}} =\frac{315.879{,}8485}{25{,}4888047}\approx 12.392{,}767.
Arredondando para centavos (modo prático para pagamento mensal):
R \approx \mathrm{R}\$\,12.392,77\\ (\text{por mês}).ê
Didaticamente: cada prestação de R traz ao arrendador, em valor presente, R\cdot a_{\overline{n}|i}; somando com o valor presente do VRG temos exatamente o preço P.

Passo 7

Agora o coeficiente de arrendamento CA é simplesmente R dividido por P:
CA=\frac{R}{P}=\frac{12.392{,}767}{360.000}\approx 0{,}03442435.
Em termos percentuais:
CA\approx 3{,}442435\%.
Para uso prático em tabelas e cálculos, podemos anotar:
CA \approx 0{,}034424\quad(\text{ou }3{,}4424\%).

Passo 8

Verificação rápida (sanity check): calcular o valor presente das contraprestações e somar o PV do VRG deve retornar P.
R\cdot a_{\overline{n}|i} \approx 12.392{,}767 \times 25{,}4888047 \approx 315.879{,}8485,
somando com PV do VRG 44.120{,}1515 nos dá 360.000 (pequenas diferenças de arredondamento aceitas). Isso confirma que os cálculos estão coerentes.

Resposta

Contraprestação mensal: \mathrm{R}\$\,12.392,77
Coeficiente de arrendamento (CA): 0,034424 (aprox.; isto é, 3,4424\%).

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