Uma empresa prestadora de serviços realizou um contrato de arrendamento de um trator agrícola com as seguintes características:
Valor global do trator: \mathrm{R} \ 360.000,00$
Valor residual garantido: R$ 90.000,00
Contraprestações: 36 contraprestações
Taxa de juros: 2,0 \% ao mês
Determine o valor das constraprestações a pagar e o coeficiente de arrendamento (CA). Considere a inclusão dos juros do VRG no CA e inclusão dos juros do VRG nas contraprestações.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras: o valor das contraprestações mensais a pagar e o coeficiente de arrendamento (CA). Dados fornecidos:
\begin{aligned} \text{Valor global do trator} &= P = \mathrm{R}\$\,360.000,00,\\\ \text{Valor residual garantido} &= G = \mathrm{R}\$\,90.000,00,\\\ \text{Número de contraprestações} &= n = 36,\\\ \text{Taxa de juros mensal} &= i = 2{,}0\% = 0{,}02. \end{aligned}
Perguntas que o enunciado faz:
Determinar o valor de cada contraprestação mensal R.
Determinar o coeficiente de arrendamento CA (isto é, o pagamento R dividido pelo preço P), considerando que os juros sobre o VRG são incluídos no cálculo do CA e incluídos nas contraprestações (forma padrão em que o VRG é descontado ao valor presente).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): quando há um valor residual garantido G que será considerado, a igualdade financeira em valor presente entre o preço e os recebimentos do arrendador é:
P = R\cdot a_{\overline{n}|i} + \frac{G}{(1+i)^n},
onde a_{\overline{n}|i} é o fator de anuidade (o valor presente de uma série de n pagamentos unitários imediatos) dado por
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada termo:
P é o valor atual do bem que precisa ser “recuperado” pelo arrendador;
R é a contraprestação periódica (o que queremos);
a_{\overline{n}|i} transforma uma série de pagamentos R em seu valor presente;
\dfrac{G}{(1+i)^n} é o valor presente do VRG (porque G só é efetivamente realizado no final do contrato e, portanto, precisa ser descontado ao presente).
A partir da equação acima isolamos R:
Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos que precisamos: primeiro o fator de desconto (1+i)^{-n}. Calculamos (1+i)^k para ir acumulando até k=36 (faço isso pra você saber como se faz na prova sem calculadora: multiplicar por 1{,}02 repetidamente).
Cálculo passo a passo de (1{,}02)^{k} (mostro cada passo curto):
\begin{aligned} 1{,}02^{1} &= 1{,}02,\\\\ 1{,}02^{2} &= 1{,}0404,\\\\ 1{,}02^{3} &= 1{,}061208,\\\\ 1{,}02^{4} &= 1{,}08243216,\\\\ 1{,}02^{5} &= 1{,}1040808032,\\\\ 1{,}02^{6} &= 1{,}126162419264,\\\\ 1{,}02^{12} &= 1{,}2682417945625454 \quad(\text{obtido multiplicando até }6\text{ e elevando ao quadrado}),\\\ \text{e continuando multiplicando por }1{,}02\text{ até }36\text{, obtém-se}\\\\ 1{,}02^{36} &\approx 2{,}039887343715704. \end{aligned}ééé
Explicação didática: a_{\overline{n}|i} diz quantos reais, em valor presente, vale cada unidade de pagamento periódico quando a taxa é i e o número de pagamentos é n. Aqui cada pagamento de 1 daqui a cada mês tem valor presente somado igual a aproximadamente 25{,}4888.
Arredondando para centavos (modo prático para pagamento mensal):
R \approx \mathrm{R}\$\,12.392,77\\ (\text{por mês}).ê
Didaticamente: cada prestação de R traz ao arrendador, em valor presente, R\cdot a_{\overline{n}|i}; somando com o valor presente do VRG temos exatamente o preço P.
Passo 7
Agora o coeficiente de arrendamento CA é simplesmente R dividido por P: