Uma pessoa contrata, no início de janeiro de determinado ano, um financiamento para ser pago em seis prestações iguais, vencíveis respectivamente ao final dos seguintes meses: janciro, fevereiro, abril, junho, julho e dezembro. Sendo de 1,4 \% ao mês a taxa de juros cobrada nesta operação, determine:
a) Coeficiente de financiamento para as seis prestações não periódicas;
b) O valor de cada prestação admitindo que o valor do empréstimo atinja RS 140.000,00.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações relevantes:
  • A taxa de juros mensal é 1,4\%, isto é i=0,014 ao mês.
  • O empréstimo é contratado no início de janeiro (tempo zero).
  • Serão 6 prestações iguais, pagas no final dos meses indicados: janeiro, fevereiro, abril, junho, julho e dezembro.
  • Isso significa que os tempos, em meses contados a partir do início de janeiro, são: t=1,2,4,6,7,12.
    O que se pede:
    (a) o coeficiente de financiamento para essas seis prestações não periódicas (ou seja, o fator que multiplica a prestação para obter o valor presente do conjunto de pagamentos);
    (b) o valor de cada prestação quando o empréstimo (valor presente) é R\$\,140.000,00.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para descontar um pagamento de valor R feito no tempo t (em meses) ao instante 0 com taxa mensal i, usamos o fator de desconto
v^t=(1+i)^{-t},
onde v:=\dfrac{1}{1+i}. Aqui v é o “valor atual de 1 unit” recebido daqui a 1 mês; v^t é o valor atual de 1 unit recebido daqui a t meses.
  • Se todas as prestações têm o mesmo valor R, e ocorrem nos tempos t_1,t_2,\dots,t_n, o valor presente PV das prestações é
PV=R\sum_{k=1}^{n} v^{t_k}.
  • No nosso caso PV é o valor do empréstimo (quando se contrata), PV=140.000, e os tempos são t=\{1,2,4,6,7,12\}. Então o coeficiente de financiamento (parte da soma) é
\text{coeficiente}= \sum_{t\in\{1,2,4,6,7,12\}} (1+i)^{-t}.
Depois isolamos R por
R=\dfrac{PV}{\text{coeficiente}}.
Agora vamos calcular numericamente cada termo e a soma.

Passo 3

Calcular v (fator mensal de desconto) e explicar como obter numericamente:
v=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+0,014}=\dfrac{1}{1,014}.
Uma forma prática de obter v sem calculadora é usar a série geométrica para 1/(1+\delta) com \delta=0,014:
\dfrac{1}{1+\delta}=1-\delta+\delta^2-\delta^3+\cdots.
Tomando os primeiros termos (pois \delta é pequeno) obtemos boa aproximação:
v\approx 1-0,014+0,014^2-0,014^3 \approx 0,9861932944.
Portanto
v=(1,014)^{-1}\approx 0,9861932944.

Passo 4

Calcular (1,014)^t para os tempos e, em seguida, os correspondentes v^t=(1,014)^{-t}. É prático calcular 1,014^t sequencialmente:
\begin{aligned} 1,014^1&=1,014,\\[4pt] 1,014^2&=1,028196,\\[4pt] 1,014^3&=1,042590744,\\[4pt] 1,014^4&=1,057187014416,\\[4pt] 1,014^5&=1,071987632617824,\\[4pt] 1,014^6&=1,0869954594744736,\\[4pt] 1,014^7&=1,1022133959071182,\\[4pt] 1,014^{12}&=1,1815581007231378. \end{aligned}
Agora os fatores de desconto (recíprocos). Podemos usar v^t=(1,014)^{-t}=1/(1,014^t) ou multiplicar sucessivamente por v. Valores aproximados:
\begin{aligned} v^{1}=(1,014)^{-1}&\approx 0,9861932944,\\[4pt] v^{2}=(1,014)^{-2}&\approx 0,9725772288,\\[4pt] v^{4}=(1,014)^{-4}&\approx 0,9459054576,\\[4pt] v^{6}=(1,014)^{-6}&\approx 0,9199830808,\\[4pt] v^{7}=(1,014)^{-7}&\approx 0,9072790890,\\[4pt] v^{12}=(1,014)^{-12}&\approx 0,8463680895. \end{aligned}
Comentário rápido sobre cálculo: eu obtive v^2 por v^2=(v^1)^2, v^4=(v^2)^2, v^6=v^4\cdot v^2 etc., que é uma forma prática de calcular potências sem precisar de potências diretas complexas.]

Passo 5

Somar os fatores para obter o coeficiente de financiamento:
\begin{aligned} \text{coeficiente} &=v^{1}+v^{2}+v^{4}+v^{6}+v^{7}+v^{12}\\[4pt] &\approx 0,9861932944+0,9725772288+0,9459054576+0,9199830808+0,9072790890+0,8463680895\\[4pt] &\approx 5,5783062401. \end{aligned}
Isso significa que o valor presente de uma prestação unitária R=1 paga nessas datas vale aproximadamente 5,5783062401 no instante zero.]

Passo 6

Calcular o valor da prestação R quando PV=R\$\,140.000,00. Usando
R=\dfrac{PV}{\text{coeficiente}},
temos
R\approx \dfrac{140.000}{5,5783062401}\approx 25.097,22.
Explicação do cálculo: dividi 140.000 pelo coeficiente obtido; arredondei o resultado para centavos (duas casas decimais), porque prestações monetárias são normalmente expressas em centavos.

Passo 7

Checagem rápida (para seu controle na prova): multiplicando a prestação obtida pela soma dos fatores deve voltar aproximadamente ao PV:
25.097,22\times 5,5783062401 \approx 139.999,98\approx 140.000,
pequena diferença de arredondamento que é esperada.

Resposta

(a) Coeficiente \approx 5,5783062401
(b) Prestação R\approx R\$\,25.097,22

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