Uma pessoa contrata, no início de janeiro de determinado ano, um financiamento para ser pago em seis prestações iguais, vencíveis respectivamente ao final dos seguintes meses: janciro, fevereiro, abril, junho, julho e dezembro. Sendo de
ao mês a taxa de juros cobrada nesta operação, determine:
a) Coeficiente de financiamento para as seis prestações não periódicas;
b) O valor de cada prestação admitindo que o valor do empréstimo atinja RS 140.000,00.
a) Coeficiente de financiamento para as seis prestações não periódicas;
b) O valor de cada prestação admitindo que o valor do empréstimo atinja RS 140.000,00.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações relevantes:
- A taxa de juros mensal é
, isto é ao mês. - O empréstimo é contratado no início de janeiro (tempo zero).
- Serão 6 prestações iguais, pagas no final dos meses indicados: janeiro, fevereiro, abril, junho, julho e dezembro.
- Isso significa que os tempos, em meses contados a partir do início de janeiro, são:
.
O que se pede:
(a) o coeficiente de financiamento para essas seis prestações não periódicas (ou seja, o fator que multiplica a prestação para obter o valor presente do conjunto de pagamentos);
(b) o valor de cada prestação quando o empréstimo (valor presente) é.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para descontar um pagamento de valor
feito no tempo (em meses) ao instante com taxa mensal , usamos o fator de desconto
onde
. Aqui
é o “valor atual de 1 unit” recebido daqui a 1 mês;
é o valor atual de 1 unit recebido daqui a
meses.
- Se todas as prestações têm o mesmo valor
, e ocorrem nos tempos , o valor presente das prestações é
- No nosso caso
é o valor do empréstimo (quando se contrata), , e os tempos são . Então o coeficiente de financiamento (parte da soma) é
Depois isolamos
por
Agora vamos calcular numericamente cada termo e a soma.
Passo 3
Calcular
(fator mensal de desconto) e explicar como obter numericamente:
Uma forma prática de obter
sem calculadora é usar a série geométrica para
com
:
Tomando os primeiros termos (pois
é pequeno) obtemos boa aproximação:
Portanto
Passo 4
Calcular
para os tempos e, em seguida, os correspondentes
. É prático calcular
sequencialmente:
Agora os fatores de desconto (recíprocos). Podemos usar
ou multiplicar sucessivamente por
. Valores aproximados:
Comentário rápido sobre cálculo: eu obtive
por
,
,
etc., que é uma forma prática de calcular potências sem precisar de potências diretas complexas.]
Passo 5
Somar os fatores para obter o coeficiente de financiamento:
Isso significa que o valor presente de uma prestação unitária
paga nessas datas vale aproximadamente
no instante zero.]
Passo 6
Calcular o valor da prestação
quando
. Usando
temos
Explicação do cálculo: dividi
pelo coeficiente obtido; arredondei o resultado para centavos (duas casas decimais), porque prestações monetárias são normalmente expressas em centavos.
Passo 7
Checagem rápida (para seu controle na prova): multiplicando a prestação obtida pela soma dos fatores deve voltar aproximadamente ao
:
pequena diferença de arredondamento que é esperada.
Resposta
(a) Coeficiente
(b) Prestação
(b) Prestação