Determine o coeficiente de financiamento e o valor das prestações de um empréstimo de R$45.000,00 a ser liquidado em 20 prestações mensais e iguais com carência de um trimestre. Admita uma taxa de juros de
ao mês.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o coeficiente de financiamento e (2) o valor das prestações mensais iguais de um empréstimo. As informações fornecidas são:
- valor do empréstimo (principal):
; - número de prestações:
(mensais e iguais); - carência de um trimestre: isto é, carência de
meses (os primeiros meses não há pagamento e as prestações começam depois dessa carência); - taxa de juros:
ao mês, ou seja .
As perguntas concretas que vamos responder:
- Qual é o coeficiente de financiamento (isto é, a razão
)? - Qual é o valor numérico da prestação mensal (em reais)?
Passo 2
Vamos modelar o problema matematicamente (explicando cada conceito com calma).
Quando temos prestações iguais de valor
pagas nos finais dos períodos, o valor presente dessas
prestações (anuidade imediata) à taxa
é dado por
onde:
-
é o fator de valor presente da anuidade de prestações; -
é a taxa por período (aqui mensal); -
é o fator de desconto de períodos.
No nosso caso as prestações começam com carência de
meses. As prestações ocorrem nos instantes
. O valor presente no instante
dessas prestações é
Como o empréstimo concedido
deve ser igual a esse valor presente, temos
Isolando
obtemos
O coeficiente de financiamento que queremos (razão entre prestação e principal) é então
Comentário: em linguagem simples, o efeito da carência é multiplicar o empréstimo por
(o principal “cresce” durante os
meses de carência), e depois dividir pelo fator de anuidade para distribuir esse montante em
prestações.
Passo 3
Agora vamos substituir os números e calcular passo a passo. Primeiro organizando os dados em forma matemática:
Calculamos
:
Calculamos
. Fazendo a multiplicação passo a passo:
Passo 4
Agora precisamos de
. Primeiro calculamos
. Usando aproximação exponencial (ou multiplicações sucessivas) obtemos
(Obs.: mostrei a ideia do cálculo; o valor numérico usado nas contas seguintes será
.)
Passo 5
Com esse valor, calculamos o denominador do fator de anuidade:
Agora o fator
vale
Passo 6
Multiplicando pelo fator da carência
obtemos o coeficiente:
Arredondando convenientemente (para exemplificar, manteremos 5 casas decimais no coeficiente), temos
Passo 7
Finalmente calculamos o valor da prestação multiplicando o coeficiente pelo principal:
Arredondando para centavos, a prestação mensal é
.
Resposta
Coeficiente de financiamento:
\n
Valor da prestação mensal:
Valor da prestação mensal: