Determine o coeficiente de financiamento e o valor das prestações de um empréstimo de R$45.000,00 a ser liquidado em 20 prestações mensais e iguais com carência de um trimestre. Admita uma taxa de juros de 1,85 \% ao mês.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o coeficiente de financiamento e (2) o valor das prestações mensais iguais de um empréstimo. As informações fornecidas são:
  • valor do empréstimo (principal): L = R\$\,45.000{,}00;
  • número de prestações: n = 20 (mensais e iguais);
  • carência de um trimestre: isto é, carência de 3 meses (os primeiros 3 meses não há pagamento e as prestações começam depois dessa carência);
  • taxa de juros: i = 1{,}85\% ao mês, ou seja i = 0{,}0185.
As perguntas concretas que vamos responder:
  1. Qual é o coeficiente de financiamento (isto é, a razão \text{coeficiente} = \dfrac{\text{prestação}}{L}çã)?
  2. Qual é o valor numérico da prestação mensal (em reais)?

Passo 2

Vamos modelar o problema matematicamente (explicando cada conceito com calma).
Quando temos prestações iguais de valor PMT pagas nos finais dos períodos, o valor presente dessas n prestações (anuidade imediata) à taxa i é dado por
a_{n|i} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},
onde:
  • a_{n|i} é o fator de valor presente da anuidade de n prestações;
  • i é a taxa por período (aqui mensal);
  • (1+i)^{-n} é o fator de desconto de n períodos.
No nosso caso as prestações começam com carência de k=3 meses. As prestações ocorrem nos instantes k+1,k+2,\dots,k+n. O valor presente no instante 0 dessas prestações é
PV = (1+i)^{-k} \cdot PMT \cdot a_{n|i}.
Como o empréstimo concedido L deve ser igual a esse valor presente, temos
L = (1+i)^{-k} \cdot PMT \cdot a_{n|i}.
Isolando PMT obtemos
PMT = L \cdot (1+i)^{k} \cdot \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}.
O coeficiente de financiamento que queremos (razão entre prestação e principal) é então
\text{coeficiente} = \frac{PMT}{L} = (1+i)^{k} \cdot \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}.
Comentário: em linguagem simples, o efeito da carência é multiplicar o empréstimo por (1+i)^{k} (o principal “cresce” durante os k meses de carência), e depois dividir pelo fator de anuidade para distribuir esse montante em n prestações.

Passo 3

Agora vamos substituir os números e calcular passo a passo. Primeiro organizando os dados em forma matemática:
L = 45000,\quad i = 0{,}0185,\quad k = 3,\quad n = 20.
Calculamos (1+i):
1+i = 1 + 0{,}0185 = 1{,}0185.
Calculamos (1+i)^{k} = (1{,}0185)^{3}. Fazendo a multiplicação passo a passo:
(1{,}0185)^{2} = 1{,}0185 \times 1{,}0185 = 1{,}03733925,
(1{,}0185)^{3} = 1{,}03733925 \times 1{,}0185 = 1{,}056538974125 \approx 1{,}0565389741.

Passo 4

Agora precisamos de (1+i)^{-n} = (1{,}0185)^{-20}. Primeiro calculamos (1{,}0185)^{20}. Usando aproximação exponencial (ou multiplicações sucessivas) obtemos
(1{,}0185)^{20} \approx 1{,}44285\quad\Rightarrow\quad (1{,}0185)^{-20} \approx \frac{1}{1{,}44285} \approx 0{,}69318.
(Obs.: mostrei a ideia do cálculo; o valor numérico usado nas contas seguintes será (1+i)^{-20}\approx 0{,}69318.)

Passo 5

Com esse valor, calculamos o denominador do fator de anuidade:
1 - (1+i)^{-n} = 1 - 0{,}69318 = 0{,}30682.
Agora o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} vale
\frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = \frac{0{,}0185}{0{,}30682} \approx 0{,}06035.

Passo 6

Multiplicando pelo fator da carência (1+i)^{k} obtemos o coeficiente:
\text{coeficiente} = (1+i)^{k}\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}} \approx 1{,}0565389741 \times 0{,}06035 \approx 0{,}063732.
Arredondando convenientemente (para exemplificar, manteremos 5 casas decimais no coeficiente), temos
\text{coeficiente} \approx 0{,}06373.

Passo 7

Finalmente calculamos o valor da prestação multiplicando o coeficiente pelo principal:
PMT = L \times \text{coeficiente} \approx 45000 \times 0{,}063732 \approx 2.867{,}94.
Arredondando para centavos, a prestação mensal é R\$\,2.867{,}94.

Resposta

Coeficiente de financiamento: 0{,}06373\n
Valor da prestação mensal: R\$\,2.867{,}94

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