Uma empresa produz canetas a um custo de R a unidade, vendendo-as por a unidade, vendendo-as por . Com esse preço, sua venda mensal chega em média a 10.000 unidades. Pretendendo aumentar o preço do produto, a empresa encomendou uma pesquisa, que revelou que para cada 0,50 de aumento no preço unitário seriam vendidas 1.500 canetas a menos a cada mês. Com base nesses dados, determine
o preço que maximiza o lucro;

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de otimização de lucro: a empresa tem custo unitário de R, preço atual de venda de , preço atual de venda de e vende 10 000 unidades por mês. A pesquisa mostra que, para cada aumento de 0,50 no preço, a demanda cai em 1 500 unidades. Vamos modelar a demanda e montar a função lucro para maximizar.

Passo 2

Definimos x como o número de aumentos de R. Então o novo preço é
Então o novo preço é
e a quantidade vendida é
p(x)=0,50+0,10x,

Passo 3

O lucro mensal é a receita menos o custo total. Como o custo unitário é 0,23, temos margem por unidade p(x)-0,23. Assim:
L(x)=(p(x)-0,23),q(x)=(0,27+0,10x)(10000-1500x)

Passo 4

Expandindo a expressão para obter um polinômio em x:
L(x)=-150x^2+595x+2700
Trata-se de uma parábola com coeficiente quadrático negativo, cujo máximo ocorre no vértice.

Passo 5

Para encontrar o vértice, usamos x^*=-b/(2a):
x^*=-5952(-150)=595300approx1,983
O preço que maximiza o lucro é
p^*=0,50+0,10,x^*approx0,50+0,10times1,983=0,6983

Resposta

R$ 0,6983 (aproximadamente R$ 0,70)

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