Uma empresa produz canetas a um custo de
a unidade, vendendo-as por
. Com esse preço, sua venda mensal chega em média a 10.000 unidades. Pretendendo aumentar o preço do produto, a empresa encomendou uma pesquisa, que revelou que para cada
de aumento no preço unitário seriam vendidas 1.500 canetas a menos a cada mês. Com base nesses dados, determine
o preço que maximiza o lucro;
o preço que maximiza o lucro;
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de otimização de lucro: a empresa tem custo unitário de
, preço atual de venda de
e vende 10 000 unidades por mês. A pesquisa mostra que, para cada aumento de
no preço, a demanda cai em 1 500 unidades. Vamos modelar a demanda e montar a função lucro para maximizar.
Passo 2
Definimos
como o número de aumentos de
. Então o novo preço é
e a quantidade vendida é
Passo 3
O lucro mensal é a receita menos o custo total. Como o custo unitário é
, temos margem por unidade
. Assim:
Passo 4
Expandindo a expressão para obter um polinômio em
:
Trata-se de uma parábola com coeficiente quadrático negativo, cujo máximo ocorre no vértice.
Passo 5
Para encontrar o vértice, usamos
:
O preço que maximiza o lucro é
Resposta
R$ 0,6983 (aproximadamente R$ 0,70)