Esse exercício foi inspirado no livro texto Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edição
Encontre uma função quadrática que represente as informações abaixo. Considere y, a distância de frenagem em metro e x a velocidade em quilômetros por hora:
Velocidade |c|c| hline Velocidade $(km / h)$ & Distância de frena>=m $(m)$ hline 32 & 8 hline 64 & 32 hline 96 & 91 hline Distância de frenagem
32 8
64 32
96 91

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função quadrática que relaciona a velocidade ( x) em quilômetros por hora com a distância de frenagem ( y) em metros. A gente tem três pares de valores:
|c|c| hline Velocidade (km/h) & Distância de frena>=m (m) hline 32 & 8 64 & 32 96 & 91 hline â
A função quadrática tem a forma geral:
y = ax^2 + bx + c
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que fazem essa equação passar por todos os três pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada par (x, y) nos dá uma equação quando substituímos na forma geral da função quadrática. Então, para o primeiro ponto (32, 8):
8 = a cdot 32^2 + b cdot 32 + c
Simplificando:
8 = 1024a + 32b + c (Equação 1) çã

Passo 3

Fazendo o mesmo para o segundo ponto (64, 32):
32 = a cdot 64^2 + b cdot 64 + c
Simplificando:
32 = 4096a + 64b + c (Equação 2) çã

Passo 4

E para o terceiro ponto (96, 91):
91 = a cdot 96^2 + b cdot 96 + c
Simplificando:
91 = 9216a + 96b + c (Equação 3) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
1024a + 32b + c = 8 (Equação 1) 4096a + 64b + c = 32 (Equação 2) 9216a + 96b + c = 91 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 6

Primeiro, vamos eliminar $ c $ subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
c
Simplificando:
(4096a + 64b + c) - (1024a + 32b + c) = 32 - 8 çã

Passo 7

Agora, vamos eliminar $ c $ subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
c
Simplificando:
(9216a + 96b + c) - (4096a + 64b + c) = 91 - 32 çã

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
3072a + 32b = 24 (Equação 4) 5120a + 32b = 59 (Equação 5) çãçã
Vamos eliminar $ b $ subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
b
Simplificando:
(5120a + 32b) - (3072a + 32b) = 59 - 24
Então,
2048a = 35

Passo 9

Agora que temos $ a $, vamos encontrar $ b $ usando a Equação 4:
a
Substituindo $ a $:
b
Calculando:
3072a + 32b = 24
Então:
a

Passo 10

Agora, vamos encontrar $ c $ usando a Equação 1:
c
Substituindo $ a $ e $ b $:
1024a + 32b + c = 8
Calculando:
a
Então:
b

Resposta

A função quadrática que representa a relação entre a velocidade e a distância de frenagem é:
y = 0,0171x^2 - 0,8906x + 19

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