Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial y^prime prime+3 y^prime+2 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(0)=1 y1^prime(0) =0 l e
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y1(t)=13(e^-t+2 e^-2 t) e y2(t)=13(e^-t-e^-2 t)
y1(t)=12(3 e^-t-e^-2 t) e y2(t)=12(e^-t-e^-2 t)
y1(t)=e^t-e^-2 t e y2(t)=e^t+e^-2 t
y1(t)=e^-t+e^-2 t e y2(t)=e^-t-e^-2 t
y1(t)=2 e^t-e^-2 t e y2(t)=e^-t-e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $ e precisamos encontrar um conjunto fundamental de soluções $ {y_1, y_2} $ que satisfaçam as condições iniciais $ y_1(0) = 1 $ e $ y_1’(0) = 0 $. Para isso, vamos usar o método das equações características que é bem útil para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $, o que nos leva a:
y
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de $ r $.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 3r + 2 = 0 $. Podemos fatorar essa equação:
r^2 + 3r + 2 = 0
Isso nos dá duas raízes:
(r + 1)(r + 2) = 0

Passo 4

Com as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $, conseguimos escrever a solução geral da equação diferencial:
r1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usamos $ y_1(0) = 1 $:
C1
Depois, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
C2
Usando a condição $ y_1’(0) = 0 $:
y1(0) = 1

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 -C1 - 2C2 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_1 = 1 - C_2 $ e substituir na segunda:
C1 = 1 - C2
Substituindo $ C_2 = -1 $ na primeira equação:
-(1 - C2) - 2C2 = 0 Rightarrow -1 + C2 - 2C2 = 0 Rightarrow -1 - C2 = 0 Rightarrow C2 = -1

Passo 7

Agora que encontramos $ C_1 = 2 $ e $ C_2 = -1 $, podemos escrever a solução particular $ y_1(t) $:
C1 = 2
Para encontrar $ y_2(t) $, que é linearmente independente de $ y_1(t) $, podemos usar a outra solução da equação geral:
C2 = -1

Resposta

A resposta correta é:
$ y_{1}(t) = 2 e^{-t} - e^{-2 t} $ e $ y_{2}(t) = e^{-t} - e^{-2 t} $

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