Encontre o conjunto fundamental de soluções
para equação diferencial
que satisfaçam as condições
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
e
e
e
e
e
que satisfaçam as condições
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $ e precisamos encontrar um conjunto fundamental de soluções $ {y_1, y_2} $ que satisfaçam as condições iniciais $ y_1(0) = 1 $ e $ y_1’(0) = 0 $. Para isso, vamos usar o método das equações características que é bem útil para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $, o que nos leva a:
Essa é uma equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os valores de $ r $.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 3r + 2 = 0 $. Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $, conseguimos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usamos $ y_1(0) = 1 $:
Depois, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
Usando a condição $ y_1’(0) = 0 $:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_1 = 1 - C_2 $ e substituir na segunda:
Substituindo $ C_2 = -1 $ na primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos $ C_1 = 2 $ e $ C_2 = -1 $, podemos escrever a solução particular $ y_1(t) $:
Para encontrar $ y_2(t) $, que é linearmente independente de $ y_1(t) $, podemos usar a outra solução da equação geral:
Resposta
A resposta correta é:
$ y_{1}(t) = 2 e^{-t} - e^{-2 t} $ e $ y_{2}(t) = e^{-t} - e^{-2 t} $