Vamos supor que você trabalhe numa indústria de brinquedos que possui três máquinas para a fabricação de dois produtos, um boneco de plástico e uma lousa. Sabemos que cada produto deve passar por cada uma das máquinas para ser processado conforme o tempo. Sabendo que o lucro de cada boneco é de R 3,00 e de cada lousa R 2,00, deseja-se maximizar o lucro. Modele esse PPL e transforme-o para a forma padrão.
Boneco de plástico Lousa Tempo máximo
Máquina 1 1 h 2 h 12 h
Máquina 2 2 h 3 h 12 h
Máquina 3 2 h 1 h 8 h

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis de decisão (quantidades de bonecos e lousas), tempos de processamento em três máquinas e lucros unitários. O conteúdo é Programação Linear: precisamos definir variáveis, função objetivo (maximizar lucro) e restrições de capacidade (tempos máximos por máquina), depois passar para a forma padrão (igualdades com variáveis de folga e função objetivo em forma canônica).

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
úá
ú
Como cada boneco rende R$3,00 e cada lousa R$ 2,00, a função objetivo é
E temos .

Passo 3

Para cada máquina impomos uma restrição de tempo total:
Máquina 1: cada boneco gasta 1 h e cada lousa gasta 2 h, total até 12 h,
Máquina 2: 2 h por boneco e 3 h por lousa, total até 12 h,
Máquina 3: 2 h por boneco e 1 h por lousa, total até 8 h.
Isso gera as desigualdades
x1 + 2x2 <= 12,
2x1 + 3x2 <= 12,
2x1 + x2 <= 8

Passo 4

O modelo de Programação Linear (forma natural) é:
max Z = 3x1 + 2x2
sujeito a
x1 + 2x2 <= 12,
2x1 + 3x2 <= 12,
2x1 + x2 <= 8,
x1,x2 >= 0

Passo 5

Para a forma padrão introduzimos variáveis de folga s1,s2,s3>=0 e escrevemos todas as restrições como igualdades, além da forma canônica da função objetivo:
Z - 3x1 - 2x2 = 0,
x1 + 2x2 + s1 = 12,
2x1 + 3x2 + s2 = 12,
2x1 + x2 + s3 = 8,
x1,,x2,,s1,,s2,,s3 >= 0

Resposta

Modelo PPL:
max Z = 3x1 + 2x2
sujeito a
x1 + 2x2 <= 12,
2x1 + 3x2 <= 12,
2x1 + x2 <= 8,
x1,x2 >= 0
Forma padrão:
Z - 3x1 - 2x2 = 0,
x1 + 2x2 + s1 = 12,
2x1 + 3x2 + s2 = 12,
2x1 + x2 + s3 = 8,
x1,,x2,,s1,,s2,,s3 >= 0

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