Uma empresa produz dois bens, denominados A e B.
O custo por dia é dado por: C(x, y)=0,04 x^2-0,01 x y+0,01 y^2+4 x+2 y+500
Onde x unidades de A e y unidades de B são produzidas ( x>0 e y>0 ). A empresa vende tudo o que produz a preços de 13 por unidade de Ae 8 por unidade de B. Encontre a função de lucro pi(x, y) e os valores de x e y que maximizam o lucro.

Passo 1

Beleza, galera! Hoje vamos resolver um exercício de função de lucro e otimização na matemática, que geralmente faz parte do cálculo. A gente tem uma empresa que fabrica dois produtos, A e B, e queremos descobrir qual a quantidade de cada um que maximiza o lucro dessa empresa. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de lucro e como encontrar o ponto onde ela atinge seu valor máximo usando derivadas parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é função de lucro. A função de lucro, denotada por pi(x, y), é a diferença entre a receita total e o custo total da empresa. Ou seja:
pi(x, y) = Receita Total - Custo Total

Passo 3

Vamos calcular a Receita Total. A receita é o dinheiro que a empresa ganha vendendo seus produtos. Sabemos que:
  • Cada unidade de A é vendida por 13 reais.
  • Cada unidade de B é vendida por 8 reais.
Então, se a empresa produz x unidades de A e y unidades de B, a receita total é:
Receita Total = 13x + 8y

Passo 4

Agora, vamos pegar o Custo Total que já foi dado na questão:
C(x, y) = 0,04x^2 - 0,01xy + 0,01y^2 + 4x + 2y + 500
Esse é o custo diário da empresa para produzir x unidades de A e y unidades de B.

Passo 5

Com a Receita Total e o Custo Total definidos, podemos montar a função de lucro:
pi(x, y) = Receita Total - Custo Total = (13x + 8y) - (0,04x^2 - 0,01xy + 0,01y^2 + 4x + 2y + 500)
Vamos simplificar essa expressão:
pi(x, y) = 13x + 8y - 0,04x^2 + 0,01xy - 0,01y^2 - 4x - 2y - 500
pi(x, y) = (-0,04x^2) + (0,01xy) + (-0,01y^2) + (13x - 4x) + (8y - 2y) - 500
pi(x, y) = -0,04x^2 + 0,01xy - 0,01y^2 + 9x + 6y - 500

Passo 6

Agora que temos a função de lucro pi(x, y), queremos encontrar os valores de x e y que maximizam esse lucro. Para isso, vamos usar derivadas parciais e encontrar os pontos críticos da função.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de pi em relação a x e y:
partial pipartial x = -0,08x + 0,01y + 9
partial pipartial y = 0,01x - 0,02y + 6

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
-0,08x + 0,01y + 9 = 0 (1)
0,01x - 0,02y + 6 = 0 (2)
Agora, temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar x e y.

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação (1):
-0,08x + 0,01y = -9
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar as casas decimais:
-8x + y = -900 (3)
Da equação (2):
0,01x - 0,02y = -6
Multiplicando todos os termos por 100:
x - 2y = -600 (4)

Passo 9

Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (3) e (4):
-8x + y = -900 (3) x - 2y = -600 (4)
Vamos resolver pela método da substituição. Da equação (4):
x = 2y - 600
Agora, substituímos x na equação (3):
-8(2y - 600) + y = -900
-16y + 4800 + y = -900
-15y + 4800 = -900
-15y = -900 - 4800
-15y = -5700
y = -5700-15 = 380

Passo 10

Agora que temos y = 380, vamos encontrar x usando a equação (4):
x = 2(380) - 600 = 760 - 600 = 160

Passo 11

Então, encontramos que para maximizar o lucro, a empresa deve produzir:
x = 160 unidades de A
y = 380 unidades de B

Resposta

A função de lucro é:
pi(x, y) = -0,04x^2 + 0,01xy - 0,01y^2 + 9x + 6y - 500
Para maximizar o lucro, a empresa deve produzir 160 unidades de A e 380 unidades de B por dia.

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