Uma empresa produz dois bens, denominados A e B.
O custo por dia é dado por:
Onde
unidades de
e y unidades de
são produzidas (
e
). A empresa vende tudo o que produz a preços de 13 por unidade de Ae 8 por unidade de
. Encontre a função de lucro
e os valores de
e y que maximizam o lucro.
O custo por dia é dado por:
Onde
Passo 1
Beleza, galera! Hoje vamos resolver um exercício de função de lucro e otimização na matemática, que geralmente faz parte do cálculo. A gente tem uma empresa que fabrica dois produtos, A e B, e queremos descobrir qual a quantidade de cada um que maximiza o lucro dessa empresa. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de lucro e como encontrar o ponto onde ela atinge seu valor máximo usando derivadas parciais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é função de lucro. A função de lucro, denotada por
, é a diferença entre a receita total e o custo total da empresa. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a Receita Total. A receita é o dinheiro que a empresa ganha vendendo seus produtos. Sabemos que:
- Cada unidade de A é vendida por 13 reais.
- Cada unidade de B é vendida por 8 reais.
Então, se a empresa produz
unidades de A e
unidades de B, a receita total é:
Passo 4
Agora, vamos pegar o Custo Total que já foi dado na questão:
Esse é o custo diário da empresa para produzir
unidades de A e
unidades de B.
Passo 5
Com a Receita Total e o Custo Total definidos, podemos montar a função de lucro:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora que temos a função de lucro
, queremos encontrar os valores de
e
que maximizam esse lucro. Para isso, vamos usar derivadas parciais e encontrar os pontos críticos da função.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Agora, temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar
e
.
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação (1):
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar as casas decimais:
Da equação (2):
Multiplicando todos os termos por 100:
Passo 9
Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (3) e (4):
Vamos resolver pela método da substituição. Da equação (4):
Agora, substituímos
na equação (3):
Passo 10
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação (4):
Passo 11
Então, encontramos que para maximizar o lucro, a empresa deve produzir:
Resposta
A função de lucro é:
Para maximizar o lucro, a empresa deve produzir 160 unidades de A e 380 unidades de B por dia.