Seja
uma função contínua, par em
tal que para todo o número real
Encontre uma fórmula explícita para a função
.
Passo 1
O exercício dá uma equação integral envolvendo uma função contínua e par f, e pede para encontrarmos f de forma explícita. Vai rolar derivação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e usar que f(–x)=f(x).
Passo 2
Vamos derivar o primeiro membro
. Pela regra de Leibniz, se
, então
. Aqui
e
, logo
Aplicando,
Aplicando,
Passo 3
Agora derivamos o segundo membro
. Primeiro
. Para
temos
. Com
,
Aplicando,
Aplicando,
Passo 4
Como
temos
Passo 5
Usando a paridade
chega-se a
Passo 6
Para
,
Passo 7
Como f é par, estendemos para todo
por
Passo 8
Opcionalmente, usando
,
Resposta
f(x)=\dfrac{\ln|x|+1}{\cos x -1}