Seja f uma função contínua, par em R tal que para todo o número real x
integral1^-x f(-t) d t=x ln x+integralx^1 f(-t) cos t d t
Encontre uma fórmula explícita para a função f.

Passo 1

O exercício dá uma equação integral envolvendo uma função contínua e par f, e pede para encontrarmos f de forma explícita. Vai rolar derivação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e usar que f(–x)=f(x).

Passo 2

Vamos derivar o primeiro membro F(x)=integral1^-xf(-t),dt. Pela regra de Leibniz, se G(x)=integrala^h(x)g(t),dt, então G'(x)=g(h(x))h'(x). Aqui h(x)=-x e g(t)=f(-t), logo
Aplicando,
F'(x)=f(-(-x))cdot(-1)=-f(x)

Passo 3

Agora derivamos o segundo membro G(x)=xln x+integralx^1f(-t)cos t,dt. Primeiro d(xln x)/dx=ln x+1. Para H(x)=integralx^1h(t),dt temos H'(x)=-h(x). Com h(t)=f(-t)cos t,
Aplicando,
ddxintegralx^1f(-t)cos t,dt=-f(-x)cos x

Passo 4

Como F'(x)=G'(x) temos
-f(x)=ln x+1 - f(-x)cos x

Passo 5

Usando a paridade f(-x)=f(x) chega-se a
-f(x)=ln x+1 - f(x)cos x Longrightarrow f(x)(cos x -1)=ln x+1

Passo 6

Para x>0,
f(x)=ln x +1cos x -1

Passo 7

Como f é par, estendemos para todo xneq 2pi k por
f(x)=ln|x| +1cos x -1

Passo 8

Opcionalmente, usando cos x -1=-2sin^2(x/2),
f(x)=-ln|x| +12sin^2(tfrac x2)

Resposta

f(x)=\dfrac{\ln|x|+1}{\cos x -1}

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