A função f(x 1, x 2, x 3)=x 1^2+x 2^2+3 x 3^2-x 1 x 2+2 x 1 x 3+x 2 x 3 definida em R^3 possui apenas um ponto estacionário. Mostre que é um ponto de mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de três variáveis, $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^{2} + x_2^{2} + 3x_3^{2} - x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2x_3 $, definida no espaço $ \mathbb{R}^3 $. A tarefa é mostrar que essa função tem apenas um ponto estacionário e que esse ponto é um mínimo local. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos estacionários da função. Um ponto estacionário ocorre onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável:
f
partial fpartial x1 = 2x1 - x2 + 2x3
partial fpartial x2 = 2x2 - x1 + x3
Agora, vamos igualar cada uma dessas derivadas a zero para encontrar os pontos estacionários:
partial fpartial x3 = 6x3 + 2x1 + x2
2x1 - x2 + 2x3 = 0 (1)
2x2 - x1 + x3 = 0 (2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Primeiro, da equação (2):
x1
Agora, substituímos $ x_1 $ da equação (4) na equação (1):
x2
x3
2x2 - x1 + x3 = 0 implies x1 = 2x2 + x3 (4)
Agora, substituímos $ x_1 $ da equação (4) na equação (3):
x1
2(2x2 + x3) - x2 + 2x3 = 0
4x2 + 2x3 - x2 + 2x3 = 0
3x2 + 4x3 = 0 (5)
Agora, temos as equações (5) e (6):
x1
6x3 + 2(2x2 + x3) + x2 = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ x_2 $ e $ x_3 $. Multiplicando a equação (5) por 5 e a equação (6) por 3 para eliminar $ x_2 $:
6x3 + 4x2 + 2x3 + x2 = 0
4x2 + x2 + 6x3 + 2x3 = 0
Subtraindo (5a) de (6a):
5x2 + 8x3 = 0 (6)
3x2 + 4x3 = 0 (5)
Substituindo $ x_3 = 0 $ na equação (5):
5x2 + 8x3 = 0 (6)
E então, substituindo $ x_2 = 0 $ e $ x_3 = 0 $ na equação (4):
x2
Portanto, o único ponto estacionário é $ (0, 0, 0) $.

Passo 4

Agora que encontramos o ponto estacionário $ (0, 0, 0) $, precisamos determinar se ele é um mínimo local. Para isso, vamos analisar a matriz Hessiana da função $ f $. A matriz Hessiana é uma matriz quadrada composta pelas segundas derivadas parciais da função:
(0, 0, 0)
Vamos calcular cada derivada segunda:
f
H = partial^2 fpartial x1^2 & partial^2 fpartial x1 partial x2 & partial^2 fpartial x1 partial x3 partial^2 fpartial x2 partial x1 & partial^2 fpartial x2^2 & partial^2 fpartial x2 partial x3 partial^2 fpartial x3 partial x1 & partial^2 fpartial x3 partial x2 & partial^2 fpartial x3^2
partial^2 fpartial x1^2 = 2
partial^2 fpartial x1 partial x2 = -1
partial^2 fpartial x1 partial x3 = 2
partial^2 fpartial x2^2 = 2
Então, a matriz Hessiana é:
partial^2 fpartial x2 partial x3 = 1

Passo 5

Para determinar se o ponto $ (0, 0, 0) $ é um mínimo local, precisamos verificar se a matriz Hessiana $ H $ é definida positiva. Uma matriz Hessiana definida positiva garante que a função tem um mínimo local no ponto estacionário.
Uma maneira de verificar se $ H $ é definida positiva é checar se todos os seus determinantes principais são positivos. Os determinantes principais de uma matriz $ 3 \times 3 $ são:
  1. O primeiro menor principal (determinante do topo à esquerda):
(0, 0, 0)
  1. O segundo menor principal (determinante da submatriz $ 2 \times 2 $ superior esquerda):
H
  1. O determinante completo da matriz $ H $:
H
Vamos calcular $ D_3 $:
Expandindo pelo primeiro row:
3 times 3
D1 = 2
2 times 2
D2 = 2 & -1 -1 & 2 = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3
H
D3 = 2 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 2 & 1 & 6
Então, $ D_1 = 2 > 0 $, $ D_2 = 3 > 0 $, e $ D_3 = 4 > 0 $. Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana $ H $ é definida positiva.

Resposta

Como a matriz Hessiana é definida positiva, o único ponto estacionário $ (0, 0, 0) $ é um ponto de mínimo local da função $ f(x_1, x_2, x_3) $.

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