A função
definida em
possui apenas um ponto estacionário. Mostre que é um ponto de mínimo local.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de três variáveis, $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^{2} + x_2^{2} + 3x_3^{2} - x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2x_3 $, definida no espaço $ \mathbb{R}^3 $. A tarefa é mostrar que essa função tem apenas um ponto estacionário e que esse ponto é um mínimo local. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos estacionários da função. Um ponto estacionário ocorre onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável:
Agora, vamos igualar cada uma dessas derivadas a zero para encontrar os pontos estacionários:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Primeiro, da equação (2):
Agora, substituímos $ x_1 $ da equação (4) na equação (1):
Agora, substituímos $ x_1 $ da equação (4) na equação (3):
Agora, temos as equações (5) e (6):
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ x_2 $ e $ x_3 $. Multiplicando a equação (5) por 5 e a equação (6) por 3 para eliminar $ x_2 $:
Subtraindo (5a) de (6a):
Substituindo $ x_3 = 0 $ na equação (5):
E então, substituindo $ x_2 = 0 $ e $ x_3 = 0 $ na equação (4):
Portanto, o único ponto estacionário é $ (0, 0, 0) $.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto estacionário $ (0, 0, 0) $, precisamos determinar se ele é um mínimo local. Para isso, vamos analisar a matriz Hessiana da função $ f $. A matriz Hessiana é uma matriz quadrada composta pelas segundas derivadas parciais da função:
Vamos calcular cada derivada segunda:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 5
Para determinar se o ponto $ (0, 0, 0) $ é um mínimo local, precisamos verificar se a matriz Hessiana $ H $ é definida positiva. Uma matriz Hessiana definida positiva garante que a função tem um mínimo local no ponto estacionário.
Uma maneira de verificar se $ H $ é definida positiva é checar se todos os seus determinantes principais são positivos. Os determinantes principais de uma matriz $ 3 \times 3 $ são:
- O primeiro menor principal (determinante do topo à esquerda):
- O segundo menor principal (determinante da submatriz $ 2 \times 2 $ superior esquerda):
- O determinante completo da matriz $ H $:
Vamos calcular $ D_3 $:
Expandindo pelo primeiro row:
Então, $ D_1 = 2 > 0 $, $ D_2 = 3 > 0 $, e $ D_3 = 4 > 0 $. Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana $ H $ é definida positiva.
Resposta
Como a matriz Hessiana é definida positiva, o único ponto estacionário $ (0, 0, 0) $ é um ponto de mínimo local da função $ f(x_1, x_2, x_3) $.