Você é responsável por uma linha de sucos e deve produzir 100 litros de um Néctar de Manga que atenda às seguintes especificações:
- Teor de polpa de fruta de pelo menos
;
- Açúcar máximo de
.
Ingredientes Disponíveis:
- Polpa Concentrada:
de polpa,
de açúcar, Custo: R
8 / \mathrm{L}$
- Suco de Manga:
de polpa,
de açúcar, Custo: R
4 / \mathrm{L}$
- Xarope de Açúcar:
de polpa,
de açúcar, Custo: R
2 / \mathrm{L}$
Formule o modelo de Programação Linear para minimizar o custo de produção dos 100 litros de néctar. Dica: Defina as variáveis como litros de cada ingrediente na produção total de 100 L . A restrição de volume total já está implícita no objetivo de produzir 100 L .
Passo 1
O que o enunciado pede: formular um modelo de Programação Linear que minimize o custo de produzir
litros de néctar de manga satisfazendo duas especificações: teor de polpa de pelo menos
e teor de açúcar no máximo
.
Informações dadas (ingredientes, composição e custo):
O que precisamos definir: variáveis (litros de cada ingrediente) e montar função objetivo (custo total) e restrições (volume total, polpa mínima e açúcar máxima), além das restrições de não negatividade.
Passo 2
Definição das variáveis (em litros), escolhidas de maneira direta para facilitar contas na prova:
Essas variáveis são contínuas e devem ser não-negativas (
).
Passo 3
Restrição de volume total: queremos exatamente
litros do néctar, então a soma dos litros de cada ingrediente deve ser
. Em forma matemática:
Explicação rápida: cada unidade de
é 1 L do ingrediente
; somando dá o volume final.
Passo 4
Restrição de polpa mínima (
do total):
de
L é
Contribuições de polpa por litro de cada ingrediente:
Portanto a restrição de polpa é
Comentário didático: cada coeficiente (0,80 e 0,35) vem diretamente da porcentagem de polpa convertida para decimal.
Passo 5
Restrição de açúcar máxima (
do total):
de
L é
Contribuições de açúcar por litro de cada ingrediente:
Assim a restrição de açúcar é
Dica prática: pense que
é “puro açúcar”, então cada litro de
consome 1 L da cota de açúcar.
Passo 6
Função objetivo (minimizar custo): custo total é soma do custo de cada ingrediente multiplicado pelos litros usados. Custos por litro: Polpa Concentrada R$8, Suco R$4, Xarope R$2. Logo a função objetivo é
Explicação didática: coeficiente
significa R$8 por cada litro de
; multiplicando por
obtemos o custo gasto em
, etc.
Passo 7
Condições adicionais e observações finais:
- Não-negatividade:
- Todas as restrições são lineares (cada uma é uma combinação linear das variáveis), então temos um modelo de Programação Linear padrão, resolvível por métodos como Simplex ou por software (mas na prova normalmente basta formular corretamente).