Você é responsável por uma linha de sucos e deve produzir 100 litros de um Néctar de Manga que atenda às seguintes especificações:
  • Teor de polpa de fruta de pelo menos 40 \%;
  • Açúcar máximo de 10 \%.

Ingredientes Disponíveis:

  • Polpa Concentrada: 80 \% de polpa, 0 \% de açúcar, Custo: R \ 8 / \mathrm{L}$
  • Suco de Manga: 35 \% de polpa, 5 \% de açúcar, Custo: R \ 4 / \mathrm{L}$
  • Xarope de Açúcar: 0 \% de polpa, 100 \% de açúcar, Custo: R \ 2 / \mathrm{L}$
Formule o modelo de Programação Linear para minimizar o custo de produção dos 100 litros de néctar. Dica: Defina as variáveis como litros de cada ingrediente na produção total de 100 L . A restrição de volume total já está implícita no objetivo de produzir 100 L .

Passo 1

O que o enunciado pede: formular um modelo de Programação Linear que minimize o custo de produzir 100 litros de néctar de manga satisfazendo duas especificações: teor de polpa de pelo menos 40\% e teor de açúcar no máximo 10\%.
Informações dadas (ingredientes, composição e custo):
\begin{aligned} &\text{Polpa Concentrada:}& &80\%\\ \text{polpa},\\\ 0\%\\ \text{açúcar},\\ \text{custo } \text{R\$ }8/\mathrm{L}\\\ &\text{Suco de Manga:}& &35\%\\ \text{polpa},\\\ 5\%\\ \text{açúcar},\\ \text{custo } \text{R\$ }4/\mathrm{L}\\\ &\text{Xarope de Açúcar:}& &0\%\\ \text{polpa},\\\ 100\%\\ \text{açúcar},\\ \text{custo } \text{R\$ }2/\mathrm{L} \end{aligned}çúçúçúçú
O que precisamos definir: variáveis (litros de cada ingrediente) e montar função objetivo (custo total) e restrições (volume total, polpa mínima e açúcar máxima), além das restrições de não negatividade.

Passo 2

Definição das variáveis (em litros), escolhidas de maneira direta para facilitar contas na prova:
x_1 = \text{litros de Polpa Concentrada},
x_2 = \text{litros de Suco de Manga},
x_3 = \text{litros de Xarope de Açúcar}.çú
Essas variáveis são contínuas e devem ser não-negativas ( x_1,x_2,x_3\ge 0).

Passo 3

Restrição de volume total: queremos exatamente 100 litros do néctar, então a soma dos litros de cada ingrediente deve ser 100. Em forma matemática:
x_1 + x_2 + x_3 = 100.
Explicação rápida: cada unidade de x_i é 1 L do ingrediente i; somando dá o volume final.

Passo 4

Restrição de polpa mínima ( \ge 40\% do total): 40\% de 100 L é
0,40 \times 100 = 40\\ \text{litros de polpa necessários}.á
Contribuições de polpa por litro de cada ingrediente:
\text{Polpa Concentrada: }0,80\\ \text{L de polpa por 1 L de ingrediente} \Rightarrow 0,80 x_1,
\text{Suco de Manga: }0,35\\ \text{L de polpa por 1 L de ingrediente} \Rightarrow 0,35 x_2,
\text{Xarope de Açúcar: }0,00\\ \text{L de polpa por 1 L} \Rightarrow 0\cdot x_3.çú
Portanto a restrição de polpa é
0,80 x_1 + 0,35 x_2 \ge 40.
Comentário didático: cada coeficiente (0,80 e 0,35) vem diretamente da porcentagem de polpa convertida para decimal.

Passo 5

Restrição de açúcar máxima ( \le 10\% do total): 10\% de 100 L é
0,10 \times 100 = 10\\ \text{litros de açúcar permitidos}.çú
Contribuições de açúcar por litro de cada ingrediente:
\text{Polpa Concentrada: }0,00\\ \text{L de açúcar por 1 L} \Rightarrow 0\cdot x_1,çú
\text{Suco de Manga: }0,05\\ \text{L de açúcar por 1 L} \Rightarrow 0,05 x_2,çú
\text{Xarope de Açúcar: }1,00\\ \text{L de açúcar por 1 L} \Rightarrow 1,00 x_3.çúçú
Assim a restrição de açúcar é
0,05 x_2 + 1,00 x_3 \le 10.
Dica prática: pense que x_3 é “puro açúcar”, então cada litro de x_3 consome 1 L da cota de açúcar.

Passo 6

Função objetivo (minimizar custo): custo total é soma do custo de cada ingrediente multiplicado pelos litros usados. Custos por litro: Polpa Concentrada R$8, Suco R$4, Xarope R$2. Logo a função objetivo é
\text{minimizar } z = 8 x_1 + 4 x_2 + 2 x_3.
Explicação didática: coeficiente 8 significa R$8 por cada litro de x_1; multiplicando por x_1 obtemos o custo gasto em x_1, etc.

Passo 7

Condições adicionais e observações finais:
  • Não-negatividade:
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0,\quad x_3 \ge 0.
  • Todas as restrições são lineares (cada uma é uma combinação linear das variáveis), então temos um modelo de Programação Linear padrão, resolvível por métodos como Simplex ou por software (mas na prova normalmente basta formular corretamente).

Resposta

\begin{aligned} &\text{Minimizar}\quad && z = 8 x_1 + 4 x_2 + 2 x_3\\[4pt] &\text{sujeito a}\quad && x_1 + x_2 + x_3 = 100,\\[4pt] &&& 0,80 x_1 + 0,35 x_2 \ge 40,\\[4pt] &&& 0,05 x_2 + 1,00 x_3 \le 10,\\[4pt] &&& x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; x_3 \ge 0. \end{aligned}]

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