Uma empresa produz mochilas escolares sob encomenda. Essa empresa tem um custo total de produção, composto por um custo fixo, que não depende do número de mochilas, mais um custo variável, que é proporcional ao número de mochilas produzidas. O custo total cresce de forma linear, e a tabela apresenta esse custo para três quantidades de mochilas produzidas.
Quantidade de
mochilas
30 50 100
Custo total (R$) 1050,00 1650,00 3150,00
O custo total, em real, para a produção de 80 mochilas será:

Passo 1

O enunciado dá que o custo total é linear e é composto por um custo fixo (independente do número de mochilas) mais um custo variável proporcional à quantidade produzida. Da tabela (peguei esses dados da tabela do enunciado) temos os pares quantidade–custo:
(30,\;1050,00),\quad(50,\;1650,00),\quad(100,\;3150,00).
O que o problema pede é: qual é o custo total para a produção de 80 mochilas?

Passo 2

Modelamos o custo total por uma função linear da forma
C(q)=F+vq,
onde:
  • C(q) é o custo total em reais quando se produzem q mochilas;
  • F é o custo fixo (em reais), que não depende de q;
  • v é o custo variável por mochila (em reais por mochila), ou seja, quanto o custo aumenta ao produzir mais uma mochila.
    Como a função é linear, v é constante (a mesma para qualquer intervalo de quantidades).

Passo 3

Para encontrar v usamos a fórmula da inclinação (taxa de variação) entre dois pontos (q_1,C_1) e (q_2,C_2):
v=\frac{C_2-C_1}{q_2-q_1}.
Escolho os pontos (30,1050,00) e (50,1650,00). Substituindo:
v=\frac{1650,00-1050,00}{50-30}=\frac{600,00}{20}=30,00.
Logo v=30{,}00 reais por mochila. Isto significa que cada mochila adiciona R$ 30{,}00 ao custo total.

Passo 4

Verificação rápida usando o terceiro ponto (100,3150,00): entre 50 e 100,
\frac{3150,00-1650,00}{100-50}=\frac{1500,00}{50}=30{,}00,
que confirma que a taxa é constante e igual a 30{,}00, como esperado para uma função linear.

Passo 5

Agora encontramos o custo fixo F. Usamos a relação F=C(q)-vq com um dos pontos. Usando (30,1050,00):
F=1050,00-30{,}00\cdot 30=1050,00-900,00=150,00.
Portanto o custo fixo é F=150{,}00 reais (é o custo que a empresa teria mesmo produzindo zero mochilas).

Passo 6

Com F e v conhecidos, calculamos o custo para q=80:
C(80)=F+v\cdot 80=150,00+30{,}00\cdot 80=150,00+2400,00=2550,00.
Fiz as multiplicações e somas passo a passo: 30{,}00\cdot 80=2400{,}00, depois somei 150{,}00.

Passo 7

Interpretação final rápida: produzir 80 mochilas custa R\$\,2.550,00. Se precisar, posso mostrar como montar o gráfico da reta C(q)=150{,}00+30{,}00q para visualizar isso.

Resposta

R\$\,2550,00

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