Uma empresa que produz refrigerantes vende-os em latinhas cilíndricas de raio
e altura
. (a) Determine o valor de
e
capazes de armazenar 355 ml de líquido envoltos pela menor superfície possível. (b) Compare estes resultados com os valores de uma latinha real. © Quais seriam as dimensões da latinha se a forma da mesma fosse um paralelepípedo de lados
e altura
?
Passo 1
O enunciado pede para achar dimensões de uma lata (cilindro) de volume fixo que minimizem a área total, comparar com uma lata real e depois fazer o mesmo para um paralelepípedo. O conteúdo é otimização de funções com restrição de volume, usando derivadas e, no caso do paralelepípedo, multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para a lata cilíndrica, começamos pela restrição de volume. Sejam o raio da base
, a altura
e o volume
. Então temos:
Dessa equação, isolamos
Passo 3
Agora escrevemos a área total da superfície da lata, que é a soma da área das duas bases mais a área lateral:
Substituindo
Para minimizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Da equação
obtemos
e então
mostrando que a altura vale o diâmetro da base.
Passo 5
Substituindo numericamente
cm³:
Passo 6
Comparando com uma lata real típica (volume 355 ml), temos cerca de raio
cm e altura
cm. A lata real é mais alta e de raio menor que a solução ótima de área mínima, provavelmente por razões de empilhamento ou estética.
Passo 7
Para o paralelepípedo de lados
e altura
com volume
fixo, a área total é
Pelo princípio de simetria (ou usando multiplicadores de Lagrange), a superfície é mínima quando
Resposta
(a) a≈3,84 cm, h≈7,68 cm com h=2a. (b) Lata real: a≈3,3 cm, h≈12,1 cm. © Paralelepípedo ótimo: a=b=h≈7,07 cm.