Uma empresa que produz refrigerantes vende-os em latinhas cilíndricas de raio a e altura h. (a) Determine o valor de a e h capazes de armazenar 355 ml de líquido envoltos pela menor superfície possível. (b) Compare estes resultados com os valores de uma latinha real. © Quais seriam as dimensões da latinha se a forma da mesma fosse um paralelepípedo de lados a, b e altura h ?

Passo 1

O enunciado pede para achar dimensões de uma lata (cilindro) de volume fixo que minimizem a área total, comparar com uma lata real e depois fazer o mesmo para um paralelepípedo. O conteúdo é otimização de funções com restrição de volume, usando derivadas e, no caso do paralelepípedo, multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para a lata cilíndrica, começamos pela restrição de volume. Sejam o raio da base a, a altura h e o volume V=355 cm^3. Então temos:
pi a^2 h = V
Dessa equação, isolamos h:
h = Vpi a^2

Passo 3

Agora escrevemos a área total da superfície da lata, que é a soma da área das duas bases mais a área lateral:
S(a,h)=2pi a^2 + 2pi a h
Substituindo h em função de a:
S(a)=2pi a^2 + 2pi acdotVpi a^2 = 2pi a^2 + 2Va
Para minimizar, derivamos em relação a a e igualamos a zero:
S'(a)=4pi a - 2Va^2=0 Longrightarrow 4pi a^3 = 2V Longrightarrow a^3=V2pi

Passo 4

Da equação a^3=V/(2pi) obtemos
a=l(V2pir)^1/3,
e então
h=Vpi a^2=2a,
mostrando que a altura vale o diâmetro da base.

Passo 5

Substituindo numericamente V=355 cm³:
a=l(3552pir)^1/3approx3,84 cm,
h=2aapprox7,68 cm

Passo 6

Comparando com uma lata real típica (volume 355 ml), temos cerca de raio 3,3 cm e altura 12,1 cm. A lata real é mais alta e de raio menor que a solução ótima de área mínima, provavelmente por razões de empilhamento ou estética.

Passo 7

Para o paralelepípedo de lados a,b e altura h com volume V=ab h fixo, a área total é
S=2(ab + a h + b h)
Pelo princípio de simetria (ou usando multiplicadores de Lagrange), a superfície é mínima quando a=b=h. Então
a=b=h=V^1/3approx355^1/3approx7,07 cm

Resposta

(a) a≈3,84 cm, h≈7,68 cm com h=2a. (b) Lata real: a≈3,3 cm, h≈12,1 cm. © Paralelepípedo ótimo: a=b=h≈7,07 cm.

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