Use a transformada de Laplace para resolver:
y^prime prime(t)-9 y(t)=f(t),
onde y(0)=1, y^prime(0)=0 e f(t)=0, t in[0,2], f(t)=1, t in[2, infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO forçada y''(t)-9y(t)=f(t) com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0 e entrada em degrau deslocado f(t)=0 em [0,2), f(t)=1 em [2,infty). Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly=Y(s), além de F(s)=Lu(t-2)=e^-2s/s, obtemos:
s^2Y(s)-scdot1-0;-9Y(s)=e^-2ss

Passo 3

Reagrupando para isolar Y(s):
(s^2-9)Y(s)-s=e^-2ss
Y(s)=ss^2-9+e^-2ss,(s^2-9)

Passo 4

O primeiro termo já é reconhecível: dfracss^2-9 tem inversa cosh(3t). Para o segundo termo, definimos
H(s)=1s(s^2-9)
e fazemos frações parciais: supondo
1s(s^2-9)= A s+Bs+Cs^2-9,
encontramos
A=-tfrac19, B=tfrac19, C=0. Logo
H(s)=-19s+19 ss^2-9

Passo 5

Invertendo H(s), temos
h(t)=L^-1H(s)= -tfrac19+tfrac19cosh(3t)=cosh(3t)-19

Passo 6

Pelo teorema do deslocamento, L^-1e^-2sH(s)=u(t-2),h(t-2). Assim a solução completa é
y(t)=cosh(3t)+u(t-2),cosh[3(t-2)]-19

Resposta

y(t)=\cosh(3t)+u(t-2)\frac{\cosh[3(t-2)]-1}{9}

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